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Amesi
| | Veröffentlicht am Montag, den 02. Juli, 2001 - 11:08: | 
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Ein Gruß an die Mathe-Genies unter Euch und eine Bitte: Wie geht folgendes?
Ermitteln Sie den Inhalt des ebenen Bereiches, der begrenzt ist von den Kurven
y= 2sin²x - 1/2 und y=0 sowie x=0 und x=2pi
Wenn's eine ausführliche Beschreibung wird, bin ich bestimmt nicht böse... ;-)
Thx Amesi |
ano
| | Veröffentlicht am Montag, den 02. Juli, 2001 - 19:22: |
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hallo,
die fläche ist das bestimmte Integral von 0 bis 2pi von 2*sin^2(x) - 1/2, die 2 als Faktor davor ergibt 2 * Int (sin^2(x)-1/4) dx). Durch part. Integration erhälst du: u'=sinx u=-cosx v=sinx v'=cosx
Int (sin^2(x) dx) = (-cosx*sinx + Int (cos^2x) dx
und da cos^2x = 1-sin^2x kannst du dies beim Integral oben einsetzen und hast dann auf beiden seiten dasselbe Integral, das bringst du auf eine Seite und erhälst Int (sin^2(x) dx) = 1/2 (x - cosx*sinx), dass setzt du oben ein. Die Stammfunktion von 1/4 ist 1/4*x. Damit ergibt sich:
F(y) = 2 * (1/2 (x-sinx*cosx) + 1/4*x) = x - sinx*cosx + 1/2*x = 3/2*x - sinx*cosx
Jetzt noch die Intervallgrenzen einsetzen und die Fläche beträgt 3*pi |
Marko (Amesi)
| | Veröffentlicht am Montag, den 02. Juli, 2001 - 20:39: |
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Hi ano!
Erstmal Danke, aber -sag mir wenn ich mich irre- da als weitere Bedingung y=0 genannt wurde, kann's so doch nicht aufgehen, oder? Das müßte jetzt ja der komplette Flächeninhalt gewesen sein, wenn aber y=0 dann darf man doch nur den "oberen" Teil über x berechnen!? Wie ging nochmal die Nullstellenberechnung?
Noch was:
Zitat Anfang:
"...und da cos^2x = 1-sin^2x kannst du dies beim Integral oben einsetzen und hast dann auf beiden seiten dasselbe Integral, das bringst du auf eine Seite und erhälst Int (sin^2(x) dx) = 1/2 (x - cosx*sinx), dass setzt du oben ein..."
Zitat Ende
??? so ganz versteh' ich's nicht 
Gruß Amesi |
ano
| | Veröffentlicht am Montag, den 02. Juli, 2001 - 22:04: |
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Hallo,
hab an die Bedingung gar nicht gedacht, also
2*sin^2x-1/2=0
sin^2x=1/4 --> sinx = 1/2 und x=pi/6
also Integral zwischen pi/6 und 2*pi
Aber y = 0 heißt ja nicht unbedingt oberer Teil, kann ja auch nur der negative Teil gemeint sein.
Würde also sagen du berechnest den Teil von 0 bis pi/6 auch, aber einzeln.
Zum zweiten:
nach Winkelfunktionen ist cos^2x = 1 - sin^2x, das wird in die Gleichung eingesetzt.
Int (sin^2(x) dx) = (-cosx*sinx + Int (1-sin^2x) = (-cosx*sinx + Int (1 dx) - Int(sin^2x dx)
Jetzt steht auf beiden Seiten dasselbe Integral, das heißt wir addieren auf beiden Seiten Int(sin^2x dx), das ergibt:
2*Int (sin^2(x) dx) = (-cosx*sinx + x), nun noch mit 1/2 multiplizieren:
Int (sin^2(x) dx) = 1/2* (x - cosx*sinx), |
amesi
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Juli, 2001 - 08:58: |
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Schrecklichen Dank! ;-) |
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