| Autor |
Beitrag |
    
Dorothea Radermacher (Dora)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 30. Juni, 2001 - 22:03: | 
|
Hallo zusammen. Ein Problem muss ich am Ende des Schuljahres unbedingt noch klären. Bei der Klausur habe ich nämlich keine Punkte dafür bekommne :-( und im Abi spielt es bestimmt eine Rolle.
Bei den Taylor-Reihen mussten wir das Restglied von Lagrange bestimmen. Mit den Reihen hatte ich auch keine Probleme. Die Bedeutung dieses Restgliedes ist klar, aber die Berechnung kriege ich nicht hin. Wir haben die Formel Rn(x)=h^(n+1)/(n+1)! * f(n+1)(x+V*h) benutzt. In der Formelsammlung steht Rn(x)=x^(n+1)/(n+1)! * f(n+1)(V*x)
Für die (n+1)Ableitung von V+x habe ich f(n+1)(V*x) geschrieben.
Das Teta kann ich nicht schreiben, dafür schreibe ich V. Es gilt 0<V<1.
Was bedeutet nun dieses Teta und dieses h? Wie berechne ich das Restglied?
Könnt ihr mir das Prinzip bitte erläutern und an der Klausuraufgabe mal vorrechnen.
f(x) = x ln(x) - x
a) Taylor-reihe um x = e, mit n=5 abbrechen
b) Restglied angeben
c) Fehler für n=5 und h=0,5 angeben
Dora |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 01. Juli, 2001 - 12:10: |
|
Hi Dorothea,
Wir benötigen die ersten sechs Ableitungen der Funktion
f(x) = x * ln x - x; diese lauten
Erste Ableitung: f1(x) = ln x mit f1(e) = 1
Zweite Ableitung: f2(x) = 1/x mit f2(e) =1/e
Dritte Ableitung : f3(x) = - 1 / x ^2 mit f2(e) = - 1 / e ^ 2
Vierte Ableitung f4(x) = 2 / x ^ 3 mit f4(e) = 2 / e ^ 3
Fünfte Ableitung f5(x) = - 6 / x ^4 mit f5(e) = - 6 / e ^ 4
Sechste Ableitung f6 = 24 / x ^ 5 .
Die gesuchte Taylorentwicklung lautet mit x - e = h::
f(x) = h + 1/(2e) * h^2 - 1 / (6 e ^ 2 ) * h ^3 +
+ 1/(12 * e^3) * h^4 - 1/(20*e^4) * h ^5 + R5
R5 ist das Restglied nasch Lagrange und lautet:
mit t für theta ( 0< t <1 ):
R5 = 24 / 6! * h^6 / (e + t * h )^5 =1/30* h^6 / (e + t * h) ^ 5.
Abschätzung von R5 für h = 0.5 nach oben ,indem wir t = 0
setzen:
R5 < 1 / 30 * 0.5 ^ 6 / e ^ 5 ~ 3.51 * 10 ^ -6.
°°°°°°°°°°°°°°°
Berechnet man mit einem Taschenrechner die Differenz d
zwischen dem Funktionswert f(e + 0.5) und den ersten
angeschriebenen Gliedern der Reihe ohne Restglied
für h = 0,5 , so kommt d = 3,103 * 10 ^ -6.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
Dorothea Radermacher (Dora)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 01. Juli, 2001 - 15:42: |
|
Hallo megamath. Ich kann deine Berechungen bestätigen :-)
Ausserdem habe ich t=1 gesetzt und 1,51*10^(-6) bekommen.
Bedeutet dies, dass das Restglied zwischen diesen Werten liegt
1,51*10^(-6) < R5 < 3.51 * 10^(-6) ?
Welche Bedeutung haben denn h und besonders t???
Oder anders gefragt: was rechne ich da?
Dora. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 01. Juli, 2001 - 17:04: |
|
Hi Dora,
Ich werde nach Möglichkeit auf Diene Fragen etwas näher
eingehen.
In der Zwischenzeit empfehle ich Dir folgendes:
siehe im Archiv unter dem Stichwort "vakant" nach,
und Du findest alles, was Du je über die Taylorreihe wissen
wolltest.
Die Abhandlung ist amüsant zu lesen und stammt von
renommierten Mitarbeitern am Board.
Lass Dich aber nicht verwirren !
Mit freundlichen Grüßen.
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 01. Juli, 2001 - 18:09: |
|
Hi Dora
Deine Ueberlegungen bezüglich der Abschätzung
des Restgliedes R sind richtig, da R als Funktion
R = R(t)
von t strikte monoton fällt.
Ueber die Rolle von theta = t kannst Du Dir anhand
des ersten Mittelwertsatzes der Differentialrechnung,
eine Vorstellung machen.
Dieser Satz lautet:
Wenn die Funktion f(x) für xo < = x < = xo + h stetig
und differenzierbar ist ,so gibt es in diesem Intervall
mindestens eine Stelle x = xo+ t * h mit 0 < t < 1 ,
für die
f(xo+h) - f(xo) = f ' ( xo + t * h )
Löst man nach f (xo+h) auf , so hat man den Beginn der
Taylorreihe mit dem Restglied Ro vor sich
Du erkennst in der Formel die Bedeutung von h einerseits
und von t andrerseits, die formal nichts miteinander zu tun
haben.h geben wir uns im Rahmen gewisser Bedingungen
selbst vor, t ist gegeben durch den Sachverhalt selbst.
Der Mittelwertsatz gibt ein Mittel an , den Unterschied zweier
Funktionswerte zu beurteilen und zwar, mit welcher Genauigkeit
man im betreffenden Intervall die Funktion durch die Konstante
f(xo) ersetzen kann.
Die Differenz f(xo+h) - f(xo) wird dabei durch einen Wert der
ersten Ableitung an einer Zwischenstelle ausgedrückt ,
deren Existenz nachgewiesen ist, deren genaue Lage man aber nicht
kennt.
Da es aber um Fragen einer Näherung geht, ist letzteres
auch nicht nötig.
Trotzdem ist es in vielen Fällen möglich, die Genauigkeit eines
Fehler, der bei solchen Verfahren des Abbruchs einer Reihe eintritt, abzuschätzen.
Den numerischen Wert eines solchen Fehlers brauchen wir nicht exakt
zu kennen ,es genügt die Angabe, dass der Fehler höchstens so und so
gross sein kann.
Genau dies haben wir an Deinem Beispiel deutlich erlebt.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
|
