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Beitrag |
    
Christian (Da_Chris)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 29. Juni, 2001 - 17:41: | 
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hi
ich hab hier 3 Aufgaben die ich einfach nicht lösen kann. gesucht sind die Stammfunktionen.
kann mir bitte jemand die Lösung mit dem genauen Lösungsweg zeigen?
cot5x + x^2 * e^3x dx
e^3x * sin2x dx
lnx - 3/xlnx dx |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Samstag, den 30. Juni, 2001 - 15:55: |
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Hi Christian
Wir berechnen ein Teilintegral nach dem andern.
1.
F = int [ ctg (5 x) * dx ] = int [( cos 5 x / sin 5 x ) * dx ] =
int [ 1/5 * 5 * cos (5 x) / sin (5 x) * dx ] =
= 1 / 5 * int [ {5 * cos (5 x ) } / sin 5 x }
In der geschweiften Klammer steht die Ableitung des Nenners
sin ( 5 x ) .
Das Integral ist dann ,wie die Probe durch Ableiten nach der
Kettenregel der Differentialrechnung zeigt,
gleich dem logarithmus naturalis des Nenners, also
F = 1/5 * ln {sin (5x)}
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Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Samstag, den 30. Juni, 2001 - 16:13: |
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Hi Christoph,
Fortsetzung der Salamitaktik
2.
Berechnung des Integrals G(x) = int [x^2 * e^ (3x) * dx ]
durch zweimalige partielle Integration.
Du sollst selbst herausfinden, wie ich aufteile, um diese Methode
zum Einsatz zu bringen.
G = x^2 * 1/3 *e ^(3 x ) - 2/3 * int [x * e ^ ( 3 x ) * dx ] =
Bezeichnen wir das letzte Integral mit GG, so kommt:
GG = 1/3 x * e^(3x ) - 1/3 * int [e ^ ( 3 x )* dx ];
das allerletzte Integral ist 1/3 * e ^ ( 3 * x )
Setzt man alles zusammen, so kommt:
G = 1/3*x^2 * e ^(3*x) - 2/9 * x * e ^ ( 3 x ) + 2 / 27 * e ^ ( 3 x )
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Mit freundlichen Grüßen
H.R,.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Samstag, den 30. Juni, 2001 - 16:29: |
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Hi Christian,
In meiner letzten Arbeit habe ich Deinen Namen substituiert !
Das rührt wohl daher, dass ich beim nächsten Integral
die Substitutionsmethode anwenden will.
Es geht um das Integral
H(x) = int [1 / ( x * ln x ) * dx ]
Wir substituieren: ln x = z , daraus dx / x = dz , aus H wird :
H = int [ 1 / z * dz ] = ln z , mithin:
H = ln ( ln x ) ein iterierter Logarithmus
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Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moer,megamath, |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Samstag, den 30. Juni, 2001 - 16:49: |
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Hi Christian,
Wir arbeiten weiter mit dem Baukastenprinzip und berechnen
das Integral
I(x) = int [ ln x * dx ] mit Hilfe der partiellen Integration.
Als Faktor u' setzen wir 1 beim Logarithmus ;
es kommt:
I = x * ln x - int [ x * ( 1 / x ) * dx ] = x * ln x - int [1* dx ], somit:
I = x * ln x - x
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Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
Xell
| | Veröffentlicht am Samstag, den 30. Juni, 2001 - 17:25: |
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Hi H.R.Moser,
Seit wann gibt es in der Schweiz doch ein scharfes s? ;-)
(Wusst ich ehrlich nicht, dass es jenes in CH nicht geben sollte!)
lg |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Samstag, den 30. Juni, 2001 - 18:31: |
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Hi Xell,
Dir zuliebe !
MfG
megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Samstag, den 30. Juni, 2001 - 18:54: |
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Hi Christian,
Zur Lösung Deiner Aufgabe Nummer 2 ändern wir
die Taktik und lösen die Aufgabe auf einen Schlag
und zwar mit zweimaliger partieller Integration.
Sei J = int [ e^ (3 x ) * sin(2 x) * dx ]
Es entsteht der Reihe nach:
J = 1/3 * e^(3x) * sin (2 x) - 2/3 * int [cos (2 x )*e^( 3 x )*dx]
=1/3 e^(3x)* sin(2x) - 2/3* {1/3*e^(3x)*cos(2x)
+2/3* int [e^3x * sin(2x) * dx ] .
Das letzte Integral ist wiederum das gesuchte Integral J.
Wir können für J eine Gleichung anschreiben; diese lautet:
J = 1/3 *e ^ ( 3 x ) * sin ( 2 x ) - 2 / 9 e ^( 3 x ) * cos ( 2 x ) - 4 / 9 * J
Die Auflösung nach J ergibt:
J = 19/13 * {1/3*e^(3x) * sin (2 x) - 2 / 9 * e ^ (3 x ) * cos(2* x) }
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Das wär's !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
Christian (Da_Chris)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Juli, 2001 - 13:32: |
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Vielen,vielen Dank H.R.Moser.
super, hat mir endlos geholfen
gruß
Chris |
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