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Beitrag |
    
Volker Eberhardt (Masterv)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 28. Juni, 2001 - 20:48: | 
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Ich habe für einen Vortrag unter anderem zwei Aufgaben: a) Weisen sie nach, dass die Fkt. L(x)
die Funktionsgleichung L(x/y)= L(X)- L(y) für
x>0 und y>0 erfüllt.
b) Weisen sie nach, dass die Fkt. L(x)
die Gleichung L(x^n) = n L(x)für x>0 und
n aus N erfüllt. Zeigen Sie dies zunächst
für n=2 und führen Sie dann sukzessive
darauf zurück oder beweisen sie mittels
vollständiger Induktion. |
Anonym
| | Veröffentlicht am Freitag, den 29. Juni, 2001 - 10:42: |
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Hallo Volker,
wie macht man L(x) = 1/t dt ?
Ich kenne nur L(x) = 1/x dx oder L(t) = 1/t dt |
Anonym2
| | Veröffentlicht am Freitag, den 29. Juni, 2001 - 18:24: |
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Hi Anonym,
Wie macht man das?
Ich kenne weder L(x)=1/x dx noch L(t)=1/t dt |
whitecrow
| | Veröffentlicht am Samstag, den 30. Juni, 2001 - 00:34: |
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stänkern immer Sonntags um 6 aufm Fischmarkt, da störts nich so
Hallo Volker, ich glaube, die Anonymen konnten dir nicht so recht helfen, ich weiß leider auch nichts zu Teil a) deiner Aufgabe, außer, dass das für mich automatisch aus der Definition des Logarithmus folgt:
bx-y = bx : by
<=> logbbx-y = logb(bx : by)
<=> x-y = logb(bx : by)
und damit rechts mit logbbx=x und logbby=y auch x-y wird, muss das Logarithmengesetz L(x/y)= L(x)- L(y) halt gelten.
Vielleicht löst die a) ja noch jemand anders, da ich darauf aufbauen muss, um die b) zu lösen:
b) z.Z.: L(xn) = n L(x)
nach a) gilt (setze x:=a und y:=b) L(a/b)= L(a)- L(b) und damit auch
L(a) = L(a/b) + L(b)
setze n=2:
linke Seite der zu zeigenden Gleichung:
L(x2), dies ist nach L(a) = L(a/b) + L(b) mit a=x² und b=x dasselbe wie
=L(x²/x) + L(x)
=L(x) + L(x)
=2L(x)
und dieses ist gleich der rechten Seite der zu zeigenden Gleichung, also gilt
L(x²)=2L(x)
Das war bereits der Induktionsanfang, nach obiger Anleitung erst für n=2 (für n=1 ergäben sich keine Schwierigkeiten, stünde das zu Zeigende sofort direkt da)
setze a=xn+1 und b=x, dann gilt wieder wegen L(a/b) + L(b) = L(a):
L(xn+1/x) + L(x) = L(xn+1)
und vereinfacht
L(xn) + L(x) = L(xn+1) ("Gleichung * ")
Hiermit kann man direkt zeigen, dass aus
L(xn) = nL(x) auch
L(xn+1) = (n+1)L(x) folgt:
Jetzt kommt der Induktionsschritt:
nehme einfach mal an, es gelte L(xn) = nL(x), addiere auf beiden Seiten L(x)
=> L(xn) +L(x) = nL(x) + L(x), auf der rechten Seite kann man L(x) ausklammern,
und mit Gleichung * wird die linke Seite umgeformt, so dass die neue Gleichung heißt:
L(xn+1) = (n+1)L(x), so dass die Behauptung
für n+1 da steht.
Schreib doch bitte mal, was du noch zu der Gleichung L(t)= 1/t dt weißt. Nicht nur für die beiden Anonymen, sondern auch für mich.
Gruß
Whitecrow |
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