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Beitrag |
    
Anna (Rinaca)
| | Veröffentlicht am Montag, den 18. Juni, 2001 - 08:15: | 
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Helft mir mal bitte.Brauch das bis Mittwoch.
f(x)=ln(x-3/2x)
a)Zeigen Sie,dass DB=R\[0;3]
Muss ich da nur zeigen,dass und warum 0 und 3 ausgeschlossen sind od.muss ich auch zeigen,dass z.b.1 und 2 auch nicht zum DB gehören?
b)Untersuchen Sie das Verhalten von f an den Grenzen von DB, geben sie die Gleichungen aller Geraden an,die Asymptoten von G(Graph)sind.
Nachdem ich meine Fkt.gezeichnet hab,kann ich natürlich gut erkennen,wie der Grenzwert für x gegen 0 und gegen 3 verläuft,doch wie kann ich das rechnerisch am besten machen?Und genau das gleiche Problem hab ich bei den Asymptoten!
lim f(x)(für x->0) = +unendlich Asymp:x=0
lim f(x)(für x->3) = -unendlich Asymp:x=3
c)Bestimmen Sie Nullstelle und Monotonieverhalten von f!
NS:
f(x) =0
0 =ln(x-3/2x)
ln(1)=0 ->
1 = x-3/2x
x =-3
Monotonie: -unendlich<x<0 monoton steigend
+unendlich>x>3 monoton fallend
Ist diese Darstellung richtig bzw.vollständig?
Wie kann man das Monotonieverhalten rechnerisch bestimmen?
d)Untersuchen Sie das Krümmungsverhalten von G!
Was ist das? Wendestelle???
Es wäre wirklich super,wenn ihr mir helfen könntet!!! |
Fern
| | Veröffentlicht am Montag, den 18. Juni, 2001 - 20:37: |
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Hallo Anna,
a) Du musst zeigen, dass die Funktion für alle Werte aus dem Intervall [0;3] nicht definiert ist!
Es muss gelten: (x-3)/(2x) >0
Dies ist der Fall, wenn Zähler und Nenner gleiches Vorzeichen haben.
Am Besten stellt man ein kleines Schema auf:
x 0 3
-----------------------------------------------------------------------
(x-3) neg | pos
-----------------------------------------------------------------------
(2x) neg | pos
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(x-3)/(2x) pos | neg | pos
------------------------------------------------------------------------
Daraus ersieht man, dass die Funktion f(x) für alle Werte außerhalb
des Intervalls [0;3] definiert ist.
Man kann auch schreiben: Df = ]-oo;0[ U ]3;oo[
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b)
rechnerisch: einfach für x einsetzen:
limx->0ln((x-3)/(2x)) = ln[-3/0] = ln(oo) = +oo
limx->3ln((x-3)/(2x)) = ln[0/6] = ln(0) = -oo
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x=0 und x=3 sind also vertikale Asymptoten
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c) Monotonie
Wir bilden die Ableitung:
f'(x) = 3/(x²-3x)
Diese Funktion kannst du nun ebenfalls auf ihr Vorzeichen untersuchen:
Sie ist im Bereich Df überall positiv: das heißt
f(x) ist überall monoton steigend!
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d)
Unter Krümmungsverhalten versteht man:
wo ist die Funktion konvex und wo konkav.
Dazu musst du das Vorzeichen der zweiten Ableitung von f(x) untersuchen.
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Wendestellen dort wo f"(x) = 0 Offensichtlich gibt es keine.
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Um horizontale Asymptotenzu finden, musst du das Verhalten für
x-> +oo und x-> -oo untersuchen.
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