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Beitrag |
    
Carmen
| | Veröffentlicht am Samstag, den 16. Juni, 2001 - 17:28: | 
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Hallo!
Ich benötige dringend Hilfe. Und zwar komm ich bei folgendem Integral einfach nicht zur Lösung:
INTEGRAL[SQRT(1+x^6)/x]
Bitte helft mir. Ich brache dieses Beispiel dringend für meine Klausur.
lieben Dank
Carmen |
Prof. Dr. Schulze
| | Veröffentlicht am Samstag, den 16. Juni, 2001 - 17:50: |
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Dies kann doch keine Schulaufgabe sein!
(Führt zur Digamma-Funktion) |
Carmen
| | Veröffentlicht am Samstag, den 16. Juni, 2001 - 18:56: |
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Hallo
leider schon! mein mathe programm berechnet eine lösung in der zwei wurzeln und zwei logarithmen vorkommen und das wars.
es wär halt nur schön zu wissen, wie das proramm drauf kommt
lg.
Carmen |
Ingo (Ingo)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 17. Juni, 2001 - 02:45: |
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Digamma-Funktion ??? Sehr einfallsreicher Einwand Professor.....
Ich geb Dir mal einen richtigen Tip Carmen : Substituire t=Ö(1+x6),also x=(t²-1)1/6 dann wird das Integral wesentlich einfacher und ist mit Hilfe der Partialbruchzerlegung zu lösen. Ganz ohne diese ominöse nichtexistierende Digamma-Funktion :-) |
Xell
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 17. Juni, 2001 - 17:53: |
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Was heißt hier "nicht existiernd" ?
Sieh mal hier nach, Ingo!
mfG |
Ingo (Ingo)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 17. Juni, 2001 - 21:13: |
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Dann habe ich mich wohl geirrt. Mir ist der Begriff nur nie untergekommen und deshalb hielt ich es für einen Scherz. Aber was das mit der Lösung zu tun hat sehe ich auf Anhieb auch nicht. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 18. Juni, 2001 - 08:00: |
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Hi Ingo,
Meine Gratulation zu Deinem Lösungsvorschlag zur
Ermittlung des "fürchterlichen" Integrals, das uns
Carmen vorgelegt hat !
Mit Deiner Methode kommt man elegant zum Ziel,
ohne dass man die Digammafunktion bemühen muss.
Ich möchte in diesem Zusammenhang ein paar
Ergänzungen anbringen.
1.
Es gibt sie wirklich ,die Digammafunktion.
Sie wird u.a. erwähnt im grossen Handbuch zu Maple.
Bezeichnung (bezeichnenderweise) mit
Psi (z) wie Psycho.
Definition: Psi(z) = G ' (z) / G(z)
Im Nenner steht die Gammafunktion, im Zähler ihre
Ableitung
Bezeichnet g die Eulersche Konstante, so gilt etwa:
Psi(1) = - g
Psi(2) = 1- g
Psi( 1/2 ) = - g - 2 * ln2
Psi( 1/6 ) = - g - 2 * ln 2 - 3 /2 * ln 3 - ½ * Pi * wurzel(3)
u.s.w. , alle Werte mit Maple.
2.
Es lohnt sich ,das " fürchterliche Integral " C von Carmen
bis zum guten Ende durchzurechnen.
Wir substituieren nach Deinem Vorschlag
t = wurzel (1+ x^6) ........................................(S)
Dann gilt, wie gesagt , x = (t^2-1)^(1/6) .
Für das Differential dx erhalten wir:
dx = 1/6 * (t^2-1)^(-5/6) * 2 t * dt.
Setzt man alles ein , so kommt für C in der neuen Variablen:
C = 1/6* int [2 * t^2 /(t^2-1) * dt]
Die Partialbruchzerlegung von Q(t) = t^2 / ( t^2 -1) lautet:
Q(t) = 1 + ½ * { 1 / ( t - 1 ) - 1 / ( t +1 ) }
Die Integration liefert
C = 1/3 * [ t + ½ *ln ( t - 1 ) - ½ *ln ( t+1) ]
Ersetzt man darin t durch den Wurzelterm t = t(x)
aus (S), so ist man fertig.
3.
Man kann diese Aufgabe ausweiten, indem man
den Integranden in eine unendliche binomische Reihe
entwickelt und im Konvergenzbereich gliedweise
integriert
Alsdann setzt man Grenzen ein:
untere Grenze x , obere Grenze 1;
u.s.w.
Siehe auch im Archiv nach beim Thema
"spezielle binomische Entwicklungen".
4,
Von ganz anderem Kaliber ist z.B. das Integral
L = L(x) = int [wurzel ( 1 + 1 / x^4 ) * dx ]
Untere Grenze 1 , obere Grenze x.
Das Integral stellt die Länge L des Bogens der Hyperbel
x * y = 1 vom Scheitel ( 1 / 1 ) an gerechnet dar
Hier gibt es zwei Wege zur Lösung.
Das Integral wird entweder auf die Normalform eines
elliptischen Integrals zurückgeführt,
oder man entwickelt auch hier den Integranden in eine
binomische Reihe und untersucht die entstehende
unendliche Reihe, ein Unterfangen, an dem wahrscheinlich
Hans grossen Gefallen finden würde !
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
Carmen
| | Veröffentlicht am Montag, den 18. Juni, 2001 - 19:35: |
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Vielen lieben Dank an alle!
Ihr hab mir sehr geholfen. nun habe ich die Substitutionsmethode auch durchschaut und bin für meine klausur gut gerüstet.
lg
Carmen |
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