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Kerstin
| | Veröffentlicht am Freitag, den 15. Juni, 2001 - 15:52: | 
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Hallo ihr da draußen, kann mir jemand von Euch bei der Lösung dieser Aufgabe helfen?
Zeige, daß die Folge n = 5 n - 1 / 3 n + 1 monoton beschränkt ist.
Wie heißt der Grenzwert?
Danke Kerstin |
Lerny
| | Veröffentlicht am Samstag, den 16. Juni, 2001 - 08:53: |
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Hallo Kerstin
versuch's mal so
a) zeige: an=(5n-1)/(3n+1) ist monoton wachsend.
Dies gilt, wenn
an+1-an>=0; also
[(5(n+1)-1)/(3(n+1)+1)]-[(5n-1)/(3n+1)]
=[(5n+4)/(3n+4)]-[(5n-1)/(3n+1)]
=[(5n+4)(3n+1)-(5n-1)(3n+4)]/[(3n+4)(3n+1)]
=8/[(3n+4)(3n+1)]>=0
Somit ist die Folge monoton wachsend.
b) Zeige: 5/3 ist obere Schranke und 1 ist untere Schranke.
Falls 5/3 obere Schranke ist, gilt für alle n aus den natürlichen Zahln an<=5/3; also
(5n-1)/(3n+1)<=5/3
3(5n-1)<=5(3n+1)
15n-3<=15n+5
-3<=5 ist wahre Aussage; also ist die Folge nach oben beschränkt.
Falls 1 untere Schranke; so gilt an>=1; also
(5n-1)(3n+1)>=1
5n-1>=3n+1
2n>=2
n=>1 wahre Aussage, also 1 untere Schranke
Insgesamt ist die Folge damit monoton wachsend und beschränkt; also konvergent; d.h. sie besitzt einen Grenzwert. Dieser ist
lim (n ->oo) an
=lim (n->oo) (5n-1)/(3n+1)
=lim (n->oo) (5-1/n)/(3+1/n)=5/3; da 1/n Nullfolge
Hoffe, ich konnte dir helfen.
mfg Lerny |
Kerstin
| | Veröffentlicht am Samstag, den 16. Juni, 2001 - 19:24: |
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Danke schön, das war superlieb.
Schönen Abend und schönes RestWE noch
Kerstin. |
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