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Spalla
| | Veröffentlicht am Freitag, den 15. Juni, 2001 - 07:15: | 
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Hallo!
Was sich jetzt gleich anhört wie eine Aufgabe aus der 4.Klasse erweist sich gerade als unlösbares Problem für mich.
Eine Maus kostet 0,30 DM, ein Hase 1,20 DM und ein Reh 5 DM.
Nun sollen genau 100 Tiere gekauft werden, und zwar mit einem Gesamtwert von exakt 100 DM, wobei man jedes Tier mindestens einmal kaufen muss.
Wie setzt man denn bei sowas an ?
Bitte helft mir!
Danke,
der Spalla |
Lerny
| | Veröffentlicht am Freitag, den 15. Juni, 2001 - 09:07: |
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Hallo
hier mein Versuch
x+y+z=100
0,3x+1,2y+5z=100
x>=1
y>=1
z>=1
x<=112
y<=78
z<=19
Also
z=100-x-y einsetzen in 2. Gleichung
0,3x+1,2y+5(100-x-y)=100
x=(4000-38y)/47
z=100-y-(4000-38y)/47=(700-9y)/47
Durch Probieren bin ich dann auf y=36, z=8 und x=56 gekommen.
Meine Probe bestätigt diese Lösung. Doch weiß ich nicht, ob sie eindeutig ist. Möglicherweise gibt es noch eine andere Kombination!?
Ein passender Rechenweg ist mir leider nicht eingefallen.
mfg Lerny |
Ganymed
| | Veröffentlicht am Freitag, den 15. Juni, 2001 - 15:01: |
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Hallo, ich würde es so versuchen:
Die Preise der Hasen und Mäuse sind durch drei teilbar, also ist die Zahl r der Rehe, die man kaufen kann, so, dass man noch einen Restbetrag von 90 DM, 75 DM, 60 DM etc. übrig hat:
rÎ{2,5,8,11,14,17}
r=17 fällt aber weg, da man für das Restgeld dann höchstens noch 50 Mäuse bekommt, zuwenig Tiere also.
also rÎ{2,5,8,11,14}
Jetzt steht man also vor dem Problem, von 90, 75, 60, 45 oder 30 DM noch 98, 95, 92, 89 oder 86 Tiere kaufen zu müssen.
Tun wir mal so, als tauschten wir unser Geld in eine andere Währung, und nehmen mal an, dass ein "Franc" (F) 0.3 DM wert wäre, dann kosteten ein Hase 4F und eine Maus 1F.
Wir müssen also von 300, 250, 200, 150 oder 100 F noch 98, 95, 92, 89 oder 86 Tiere kaufen.
ab hier weiß ich auch nicht mehr ohne probieren weiter:
300=4h+m
98=h+m
-------
202=3h, 202 ist nicht durch 3 teilbar, also geht es nicht.
Das Schema kann man aber beibehalten:
250-95 ist nicht durch 3 teilbar.
200-92 ist teilbar durch 3. => erhalte h=108/3=36
150-89, die 89 ist nicht durch 3 teilbar.
100-86 ist nicht durch 3 teilbar.
Also ist die von Lerny angegebene Lösung {8 Rehe, 36 Hasen, 56 Mäuse} die einzig mögliche.
Vielleicht kommt jemand mit einer gescheiten modulo-Rechnung noch auf eine Methode mit noch weniger Probieren. Mein Fall sind Modulo-Sachen nicht.
Auf jeden Fall müsste man dann benutzen können:
Wir können einen Hasen durch 4 Mäuse ersetzen. Also werden es jedesmal 3 Tiere mehr, während der Preis gleich bleibt.
Viele Grüße |
Ingo (Ingo)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 15. Juni, 2001 - 21:37: |
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Hi Lerny !
Das "Probieren" was Du erwähnst kann man umgehen,indem man Elemente der Zahlentheorie mit einbringt.
Wir haben die Gleichung z=(700-9y)/47
Betrachten wir uns die mal genauer : 700 läßt beim teilen durch 47 den Rest 42,also muß 9y beim Teilen durch 47 ebenfalls den Rest 42 lassen,damit z eine natürliche Zahl ergibt.Ansatz : 9y=47k+42
Weiter überlegt : 47=2 mod 9 und 42=6 mod 9
=> k=6 (6*2+6=0 mod 9) => y=36
Der Rest ist dann nur noch Einsetzen. |
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