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SCHNELL

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Klassen 12/13 » Analytische Geometrie » Ebenen » SCHNELL « Zurück Vor »

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Goofy (Goofy)
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Veröffentlicht am Dienstag, den 12. Juni, 2001 - 11:25:   Beitrag drucken

Die Gerade g durch A(2/1/0) und B(1/4/2) ist parallel zur Ebene E:x+y-z=5

Bestimme die beiden Ebenen E1 und E2, welche E unter einem Winkel von 60° schneiden und die Gerade g enthalten!!

DANKE IM VORRAUS
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Leo (Leo)
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. Juni, 2001 - 11:49:   Beitrag drucken

Hallo, es gilt, einen Vektor zu finden, der 1. zu g orthogonal ist und der zum Normalenvektor der Ebene (1 1 -1) einen Winkel von 60° einschließt, davon gibt es zwei, mehr nicht (die bis auf die Länge bestimmt sind.
Damit die Formeln nicht zu kompliziert sind, habe ich in der Winkelformel (skalarprodukt durch Produkt der Beträge = cos(Zwischenwinkel)
den Betrag des gesuchten Winkels = 1 gesetzt:

Betrag: x2+y2+z2=1
Winkel: (x+y-z)/Ö3 = cos(60°)=1/2
Orthogonalität zu g:
-x+3y+2z=0

aus diesen Drei Gleichungen kann man zwei Vektoren berechnen. einer davon ist (Ö3/6-5Ö(1/56) ; Ö3/6+Ö(1/56) ; -Ö3/6-4Ö(1/56))

Versuch mal den anderen rauszukriegen. setzt Du diesen Vektor (a b c) dann an einem Punkt von g an, hast Du eine Ebene mit den gewünschten Eigenschaften: ax+by+cz=Ö3/2-9Ö(1/56)

wenn Du etwas nicht nachvollziehen kannst, melde Dich nochmal
->
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Goofy (Goofy)
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Veröffentlicht am Freitag, den 15. Juni, 2001 - 22:49:   Beitrag drucken

Hi LEO!!

das ist echt super nette von dir dass du meine aufgabe gelöst hast, aber ich habe leider absolut keine ahnung wie du vorgegangen bist (ich verstehe deine rechenwege nicht) und daher BITTE ICH DICH doch nochmal mir jeden einzelnen rechenschritt AB DA AN WO DU DIE VEKTOREN BERECHNET HAST zu erklären bzw. aufzuschreiben so dass ich auch weiss wie man das macht!!!

DANKE
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Leo (Leo)
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Veröffentlicht am Samstag, den 16. Juni, 2001 - 02:14:   Beitrag drucken

Also, ich denke, die Bedingungen sind klar:

g =k*((2 1 0)-(1 4 2))=k*(1 -3 -2) muß senkrecht zum Normalenvektor der gesuchten Ebenen sein.
=> Skalarprodukt =0 => x-3y-2z=0 (ist dasselbe wie -x+3y+2z=0)

Daß die gesuchten Ebenen mit E einen 60°-Winkel einschließen, ist gleichbedeutend mit: Die Normalenvektoren schließen einen Winkel 60° ein. Normalenvektor von E: (1 1 -1), sieht man an der Normalenform x+y-z=5

Es gilt(steht in jedem Geometriebuch)
cos(a=<a,b>/(||a||*||b||)
also cos(60°)=<(1 1 -1),v>/(Ö3*||v||)
wobei v=(x,y,z)

Damit diese doofe cosinusformel etwas einfacher ist, denn ||v||=Ö(x2+y2+z2),
setze ich einfach ||v||=1

also cos(60°)=<(x+y-z)/Ö3

=> x+y-z=1/2*Ö3

Da ich wollte, daß ||v||=1, muß zusätzlich gelten:
x2+y2+z2=1 I
Die anderen zwei:
-x+3y+2z=0 II
x+y-z=1/2*Ö3 III

setze ich x aus II in III ein
Dann habe ich eine Gleichung mit z und y
dann setze ich x aus II in I ein
Dann erhalte ich wieder eine Gleichung mit z und y

Dann setze ich die beiden erhaltenen Gleichungen gleich und erhalte (durch das Quadrat) zwei Lösungen für z.B y. Dadurch sind dann x und z bestimmt (drei Gleichungen, drei variablen, eine Gleichung ist Quadratisch)
Ich hoffe, Du kriegst das hin, weil es nämlich jetzt einen riesen Aufwand bedeuten würde, wenn ich das alles reinschreiben müsste, mit Wurzeln und so. Wenn nicht, sags uns ich schreibe es auf Papier, scanne es ein und schicke es als Bild.

Klar muß aber sein, wenn Du v=(a,b,c) (ich nenne ihn wegen der Notation um)hast, mußt Du nur noch irgendeinen Punkt der Geraden g nehmen, z.B. (2 1 0) und diesen einsetzen. (2*a+1*b+0*c=wert)
Dann sind die Ebenen F1,2 jeweils: f: ax+by+cz=wert

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