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Exponentialfunktion: fa(x)=a^2x-e^ax...

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Hypocrite
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Veröffentlicht am Samstag, den 09. Juni, 2001 - 14:55:   Beitrag drucken

Hey Leute ich brauche zur kurvenschar fa(x)=a^2x-e^ax , die ersten beiden Ableitungen und die Extrema und Wendepunkte von fa(x). Außerdem bräuchte ich die Stammfunktion von fa.
VIELEN DANK für EURE Hilfe!!!!!!!!!
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Daniel Gerigk (Danger)
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Veröffentlicht am Samstag, den 09. Juni, 2001 - 16:42:   Beitrag drucken

Im folgenden sei v:= ln a
Es gilt: a^x = [e^(ln a)]^x = e^(x*ln a)

=================================================
fa(x) = e^(2vx)-e^(ax)
fa'(x) = 2ve^(2vx)-ae^(ax)
fa''(x) = [2v]²e^(2vx)-a²e^(ax)
=================================================
1. Extremstellen:

fa'(x)=0 <=> 2ve^(2vx) = ae^(ax)
<=> ln[2ve^(2vx)] = ln[ae^(ax)]
<=> ln(2v)+2vx = v+ax
<=> x(2v-a) = v-ln(2v)
<=> x = [v-ln(2v)]/[2v-a]
(Probe fa''(x)<>0 bitte selber machen!)
=================================================
2. Wendestellen:

fa''(x)=0 <=> (2v)²e^(2vx) = a²e^(ax)
<=> ln[(2v)²e^(2vx)] = ln[a²e^(ax)]
<=> 2ln(2v)+2vx = 2v+ax
<=> x(2v-a) = 2v-2ln(2v) = 2(v-ln(2v))
<=> x = 2(v-ln(2v))/(2v-a)
(Probe fa'''(x)<>0 bitte selber machen!)
=================================================
3. Stammfunktion

Fa(x) = 1/(2v)*e^(2xv)-1/a*e^(ax)
=================================================
Mit freundlichen Grüßen,

Daniel

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