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Bianca
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. Juni, 2001 - 14:02: | 
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Hi Leute,
ich bräuchte bitte dringend Hilfe. Ich kommen mit folgender Aufgabe einfach nicht zurecht.
Geg.: Schaubild K mit f(x)= 4/(x^2+1)
Welches zur y- Achse symmetrische Dreieck, von dem eine Ecke im Ursprung und die beiden anderen auf K liegen, hat den größten Flächeninhalt?
Wenn ihr mir erklären könntet, wie das geht, wäre das echt super.
Danke im vorraus, Bianca |
fastbob
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. Juni, 2001 - 15:51: |
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http://www.online-club.de/~mathe-quelle/ |
Lerny
| | Veröffentlicht am Freitag, den 08. Juni, 2001 - 09:11: |
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Hallo Bianca
Sei A(0/0); B(a/f(a)) und C(-a/f(-a))
Für den Flächeninhalt eines Dreiecks gilt die Formal
A=1/2*g*h
g=BC und damit g=2a
h=y-Wert von B bzw. C, also h=f(a)=4/(a²+1)
Somit folgt für den Flächeninhalt
A(a)=1/2*2a*4/(a²+1)=4a/(a²+1)
Für die Berechnung des Maximums brauchst du nun die 1. Ableitung (geht mit Quotientenregel)
A'(a)=[4(a²+1)-4a*2a]/(a²+1)²
=[4a²+4-8a²]/(a²+1)²
=(4-4a²)/(a²+1)²=0
4-4a²=0
4a²=4
a²=1
a=1 oder a=-1
Überprüfen auf Maximum mit 2. Ableitung
A"(a)=[-8a(a²+1)²-(4-4a²)*2(a²+1)*2a]/(a²+1)4
=[-8a(a²+1)-4a(4-4a²)]/(a²+1)³
=(-8a³-8a-16a+16a³)/(a²+1)³
=(8a³-24a)/(a²+1)³
A"(1)=(8-24)/(1+1)³=-16/8=-2<0=> Max
A"(-1)=(-8+24)/(1+1)²=16/8=2>0=> Min
Somit ist der Flächeninhalt des Dreiecks für a=1 ein Maximum.
Die Eckpunkte sind also
A(0/0)
B(a/f(a))=B(a|4/(a²+1))=B(1|4/(1+1))=B(1|2)
C(-a|f(-a))=C(-1|2)
Die Höhe ist h=2 und die Grundseite ist g=BC=2
Der Flächeninhalt beträgt A=1/2*2*2=2
mfg Lerny |
bianca
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 10. Juni, 2001 - 20:51: |
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Super!! Vielen Dank Lerny, jetzt ist alles klar!! |
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