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Firefly
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. Juni, 2001 - 12:35: | 
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Hallo ihr Genies!!
Ich hätte da eine dringende Frage: Wie kann ich allgemein den Abstand eines Punktes/einer Geraden von einer Ebene/Geraden berechnen? Hat das etwas mit der HESSEschen Normalform zu tun? Wenn ja, dann wäre ich froh, wenn mir die jemand erklären könnte, denn ich schnalle die überhaupt nicht!!!! Wofür ist sie? Wie kommt man zu ihr? Wieso hat sie diese Form?
Für rasche Hilfe wäre ich echt dankbar!!! |
fastbob
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. Juni, 2001 - 15:28: |
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hi! schau mal nach...
http://www.hinterseher.de/Diplomarbeit/relativeLage.html |
Johannes Luber (Jal)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. Juni, 2001 - 17:08: |
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Aus Zeitgründen kann ich nur einen Teil der Frage beantworten, aber den Rest liefere ich nach.
Es gibt verschiedene Möglichkeiten, den Abstand zu erhalten, die aber davon abhängen, von was man den Abstand will.
Aber zuvor die Erklärung für die Hesse-Normal-Form:
Wenn man in die Koordinatenform einen Punkt einsetzt und eine 0 als Ergebnis erhält, ist der Punkt in der Ebene enthalten. Aber bei anderen Ergebnissen kommt nicht der Abstand heraus. Um doch den Abstand zu erhalten, normiert man die Koordinatenform zur Hesse-Normal-Form:
1. Wenn die Konstante positiv ist, muss die Gleichung mit -1 multipliziert werden, um diese Form zu erhalten: ax1 + bx2 + cx3 - n0 = 0. a,b,c sind aus ganz R.
2. Nun muss die Länge des Normalenvektors bestimmt werden. Praktischerweise sind die einzelnen Komponenten die Vorfaktoren von xn mit Vorzeichen: |n| = Wurzel von (a2 + b2 + c2).
3. Dann dividiert man die Koordinatenform der Ebene durch |n|: (ax1 + bx2 + cx3 - n0)/|n| = 0.
4. Um den Abstand eines Punktes zur Ebene zu erhalten, setzt man dessen Koordinaten bei den xn ein. Da bei der Hesse-Normal-Form der Normalenvektor vom Ursprung weg zeigt, kann man durch das Vorzeichen des Ergebnisses feststellen. ob der Punkt und der Ursprung im selben Halbraum liegen: Ist das Ergebnis positiv, liegen sie auf verschiedenen Seiten.
Nun zur Abstandsbestimmung:
1. Abstand eines Punktes von einer Geraden
Annahme: Gerade g: x = (1;3;-4) + t(2;-3;1), P(4;6;8)
a) Die kürzeste Strecke von P zur Geraden g steht senkrecht zur Geraden. Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist 0, wenn beide senkrecht aufeinander stehen. Deshalb stellt man einen Vektor x auf, der vom Punkt P zu einem unbestimmten Punkt X der Geraden führt. x skalarmultipliziert mit Richtungsvektor ug = 0, nach t auflösen. t in Betrag von x einsetzen, diesen ausrechnen => Abstand bestimmt.
x = XP = (4;6;8) - (1+2t;3-3t;-4+t) = (3-2t;3+3t;12-t)
x*ug=0
(3-2t;3+3t;12-t)*(2;-3;1)=0
6 - 4t - 9 - 9t + 12 - t = 0
9 - 14t = 0
t = 9/14
|x| = Wurzel aus ( (3-2*9/14)2 + (3+3*9/14)2 + (12-9/14)2 ) = Wurzel aus (156,21) = 12,50 |
Johannes Luber (Jal)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. Juni, 2001 - 21:50: |
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Hier ist der 2. Teil meiner Antwort:
b) Es wird eine Ebene erstellt, deren Normalenvektor gleich dem Richtungsvektor der Geraden ist und den Punkt P enthält. Dafür wird gleich die Koordinatenform erstellt. Wie von der Normalenform bekannt sein müsste, wird dort noch ein Startpunkt (bei uns P) benötigt. Wenn dieser skalarmultipliziert wird mit dem Normalenvektor, erhält man noch die Konstante für die Koordinatenform. Nach dem Aufstellen schneidet man die Ebene mit der Geraden. Der Schnittpunkt ist das Ende der kürzesten Strecke von P zu g. Man muss nur noch den Bertag vom Vektor SP ermitteln, um den Abstand zu erhalten.
E: 2x1 - 3x2 + x3 - (8 - 18 + 8) = 0
2x1 - 3x2 + x3 + 2 = 0
(Ich habe die Konstante abgezogen, weil das bei der Umwandlung von Normalen- zur Koordinatenform verlangt wird.)
E geschnitten mit g:
2(1 + 2t) - 3(3 - 3t) + (-4 + t) + 2 = 0
2 + 4t - 9 + 9t - 4 + t + 2 = 0
-9 + 14t = 0
t = 9/14
Dasselbe Ergebnis wie oben ;-). Die restliche Berechnung erspare ich mir.
2. Der Abstand eines Punktes zu einer Ebene
Annahme: Ebene E: 3x1 - 2x2 + x3 + 6 = 0, Punkt P(4;6;8)
a) Man stellt eine Gerade mit dem Startpunkt P und dem Normalenvektor als Richtungsvektor auf. Dies führt zur selben Situation wie in 1.b), weshalb ich mir die Arbeit erspare.
b) Die zweite Möglichkeit ist die Benutzung der Hesse-Normal-Form, die ich schon beschrieben habe. Deshalb zeige ich nur das Beispiel.
E: 3x1 - 2x2 + x3 + 6 = 0
Länge des Normalenvektors: Wurzel aus (4 + 9 + 1) = Wurzel aus 14
EHNF: (-3x1 + 2x2 - x3 - 6)/(Wurzel aus 14) = 0
d*(P;EHNF) = (-12 + 12 - 8 - 6)/Wurzel aus 14) = - Wurzel aus 14
Der Abstand beträgt d = Wurzel aus 14. Das Minuszeichen verrät, dass P und der Ursprung im selben Halbraum liegen.
3. Der Abstand zweier Geraden
Diese 2 Geraden müssen parallel oder windschief sein.
a) Diese Methode funktioniert wie bei 1.a), nur dass der variable Vektor seine beliebigen Punkte auf jeweils einer Geraden hat und dass dieser auf beiden Richtungsvektoren senkrecht stehen muss.
g: x = (6;1;4) + t(-3;1;1), h: x = (5;4;13) + l(1;1;-2)
Vektor PQ = (6;1;4) + t(-3;1;1) - ( (5;4;13) + l(1;1;-2) ) = (-1;3;9) + t(-3;1;1) + l(1;1;-2)
PQ*ug=0 => 15 + 11t - 4l = 0
PQ*vg=0 => -16 - 4t + 6l = 0
=> t = 13/25, l = 58/25
Dadurch erhält man P, Q und d = 24/5 * Wurzel aus 2 |
Johannes Luber (Jal)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 08. Juni, 2001 - 10:33: |
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3. und letzter Teil meiner Antwort
Wenn die Geraden parallel sind, erhält man durch die Skalarmultiplikation 2 gleiche Ergebnisse. In diesem Fall bestimmt man eine Variable - am besten setzt man sie gleich 0 - und rechnet den Wert der anderen aus.
b) Die zweite Methode gilt in folgender Form nur für windschiefe Geraden. Man stellt eine Ebenengleichung in Parameterform auf, die die Gleichung der Gerade enthält, die in der Ebene liegen soll, und zusätzlich den Richtungsvektor der anderen Geraden enthält.
E: x = (6;1;4) + t(-3;1;1) + l(1;1;-2)
Dann bringt man sie in die HNF und testet einen Punkt der zweiten Geraden.
Für parallele Geraden muss zuerst die Ebene erstellt werden, in der beide Geraden liegen. Deren Normalenvektor ersetzt den 2. Vektor.
c) Die einfachste Möglichkeit für parallele Geraden: Man nimmt einen Punkt einer Geraden und verfährt nach 1.
4. Abstand einer Ebene zu einer Geraden/Ebene
Dafür müssen beide Objekte parallel sein. In diesem Fall nimmt man einfach einen Punkt der Gerade/Ebene und testet nach 2.
Es gibt bestimmt mehr Methoden als diese, aber nur die wurden im Schulunterricht verwendet.
Welche Methode soll man nun benutzen? Es hängt davon ab, ob man auch die Fuß-/Schnittpunkte haben will oder nur den Abstand und ob von der Vorarbeit, die man gemacht hat, etwas für die Lösung verwendbar ist.
Ich hoffe, der Leser/die Leserin hat bisher durchgehalten :-). |
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