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Beitrag |
    
Michael
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. Juni, 2001 - 11:53: | 
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Zu jedem t>0 ist durch ft(x)=t^2x^3-6tx^2+9x
eine Funktion f index t gegeben. Der Hochpunkt hat die Koordinate Ht(1/t;4/t). Durch den Punkt P(r/0) mit 0<r<2 und den Hochpunkt von f1 geht eine gerade. Diese Gerade teilt die von dem Graphen f1 und der Abszisse eingeschlossene Fläche in zwei Teile. Bestimmen sie r so das die Fläche halbiert wird.
Ich brauch die Lösung noch heute! Dringend |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. Juni, 2001 - 19:21: |
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Hi Michael,
Für die zu untersuchende Funktion ist der Parameter t =1
zu setzen, und wir bezeichnen die Funktion einfach mit y = f(x).
Es ist f(x) = x^3 - 6x^2 +9x = x * (x - 3 ) ^2 und
f '(x) = 3 x ^ 2 -12 x + 9 = 3 * ( x -1 ) * ( x - 3)
Nullstellen x = 0 und x= 3; letztere zählt doppelt;
Der Graph berührt im Punkt B(3/0) die x-Achse
Wie vorausgesagt, ist der Punkt H(1/4) der Hochpunkt.
Der Punkt G sei der entsprechende Punkt auf der x-Achse,
also G(1/0).
Wir berechnen mittels der Stammfunktion
F(x) = ¼ * x ^ 4 - 2 * x ^ 3 + 9 / 2 * x ^ 2 folgende Flächen
zwischen der Kurve und der x-Achse, alle im ersten Quadrant
gelegen,
A1 : Fläche für x = 0 bis x = 3 (bei B) als Integrationsgrenzen
A2 : Fläche für x = 0 bis x = 1 (bis GH) als Grenzen.
Wir erhalten durch Einsetzen der Grenzen in die Stammfunktion
A1 = F(3) - F(0) = 27/4
A2 = F(1) - F(0) = 11/4
Zu F2 fügen wir die Fläche D des Dreiecks HGR hinzu, wobei
R( r / 0 ) der im Text genannte Endpunkt auf der x-Achse ist.
Da GR = r -1 gilt, erhalten wir
D = ½ * (r-1)*4 = 2 (r-1))
Nach dem Text soll die Fläche A2 + D = ½ * A1 ausmachen.
Aus der entsprechenden Gleichung
11/4 + 2 * (r -1 ) = 27 / 8 berechnen wir
r = 21 / 16
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Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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