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Firefly
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. Juni, 2001 - 10:26: | 
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Ich habe bei der folgende Aufgabe schon Mühe, nur von der Parameterdarstellung zu der Koordinatengleichung zu kommen! Die muss ich doch haben, ocer?!?! Hier die Aufgabe:
Gegeben seien die Punkte A(8/0/8) und B(10/3/10) und die Gerade k):Vektor r=(-5,1,0) + t(3,2,-2)
a)bestimme einen Vektor n, der senkrecht auf k und g=AB steht.
b)bestimme die Gleichung der Ebene E, in der die Gerade g liegt und die parallel zur Geraden k verläuft.
c)berechne den abstand der Geraden k von der Ebene E.
MERCI! |
Johannes Luber (Jal)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. Juni, 2001 - 12:01: |
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1. Es gibt keine Koordinatengleichung für Geraden im dreidimensionalen Raum.
2. a) Zuerst muss festgestellt werden, dass die beiden Geraden nicht windschief zueinander sind. Die Gerade g muss vorher aufgestellt werden. Dann schneidet man beide Geraden. Beim Schnitt sollte die Nicht-Identität der beiden Geraden festgestellt werden. Kommt kein Schnittpunkt heraus, muss man die beiden Richtungsvektoren auf lineare Abhängigkeit prüfen: Vektor AB = c * Vektor t. Kommt für c ein passender Wert für alle Komponenten heraus, sind beide Geraden parallel.
Wenn die Geraden parallel sind, muss ein Vektor von einem Punkt der Gerade k zu einem Punkt der Gerade g aufgestellt werden, normalerweise nimmt man die Startpunkte.
Wenn man die zwei unterschiedlichen Vektoren hat, nutzt man das Kreuzprodukt, um den senkrechten Vektor n zu erhalten.
b) Die Ebene E wird so aufgestellt: Die Gerade g und danach der Richtungsvektor t werden hingeschrieben: E: x = Startpunkt AB + l *(Richtungsvektor AB) + t(3;2;-2).
c) E wird in Koordinatenform umgewandelt. Deren Normalenvektor kann gleich n sein. Danach wandelt man E in die Hesse-Normal-Form um: Die Konstante nach x3 sollte abgezogen werden; gegebenenfalls Koordinatenform mit -1 multiplizieren. Dann ermittelt man die Länge des Normalenvektors und dividiert die Koordinatenform durch diese, um die Hesse-Normal-Form zu erhalten. Dann setzt man den Startpunkt von k in die Koordinatenform ein. Der Betrag von diesem Ergebnis ist der Abstand. |
Johannes Luber (Jal)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. Juni, 2001 - 16:21: |
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Leider unterlief mir ein Fehler: Ich habe nicht beachtet, dass die Geraden wegen der Aufgabenstellung parallel sein müssen, aber das Aufstellen der Ebene auf diese Weise nur mit windschiefen Geraden funktioniert.
Deshalb muss einer der identischen Richtungsvektoren nur durch den Vektor n ersetzt werden. Der Rest funktioniert wie gehabt, außer dass der Normalenvektor der Ebene niemals gleich n sein.
Wenigstens habe ich nur einen 2. Versuch gebraucht, aber das kommt davon, wenn man die Aufgabe nur im Kopf löst ;-) |
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