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Heiko
| | Veröffentlicht am Freitag, den 01. Juni, 2001 - 09:40: | 
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Ich habe ein Problem mit folgenden Beweisen:
Beweise oder widerlege durch ein Gegenbeispiel folgende Behauptung:
1) P("Gegenereignis von A"|B) = 1 - P(A|B)
2) P(A|"Gegenereignis von b") = 1 - P(A|B)
Beeilt euch, danke
Heiko |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 01. Juni, 2001 - 13:03: |
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Hi Heiko
Bevor wir Deine Aufgaben in Angriff nehmen ,
müssen wir die zu benützenden Symbole definieren.
A' ist die Komplementärmenge zu A ,
B' die Komplementärmenge zu B etc.
Die Vereinigung zweier Mengen A und B sei mit dem
Operationszeichen v bezeichnet , also ist
C = A v B die Vereinigungsmenge. von A und B.
Der Durchschnitt zweier Mengen A und B sei mit dem
Operationssymbol & bezeichnet
C = A & B ist der Durchschnitt von A und B
Analoges gilt für Ereignisse A,B.C................................
Die erste Behauptung trifft zu.
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Zum Beweis benötigen wir zwei bekannte Mengenrelationen
R1 und R2, die Du in einer Skizze (in einem Venn-Diagramm)
leicht anschaulich bestätigen kannst
Sie lauten:
( A & B ) v (A' & B ) = B..................................................(R1)
( A & B ) & ( A' & B ) = leere Menge { }..........................(R2)
Daher bekommen wir für die Wahrscheinlichkeit P
der linken Seite von (R1) wegen des nach (R2) leeren
Durchschnitts eine einfache Summe von Wahrscheinlichkeiten,
nämlich:
P [ (A&B) v (A'&B) ] = P [ A & B] + P [ A' & B ] , also
P [ A & B ] + P [ A' & B ] = P [ B ] ;
wir dividieren beide Seiten mit P [ B ] und bekommen,
bekannte Beziehungen für bedingte Wahrscheinlichkeiten
P [ A / B ] + P [ A' / B ] = 1 ;
Dies ist aber der zu beweisende Satz.
Die zweite Behauptung trifft nicht zu
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Wäre sie richtig, müsste gelten :
P [A' / B ] = P [ A / B' ] ;
dies ist aber offensichtlich falsch..
Mit einer geeigneten Vierfeldertafel kann sofort ein Beispiel
gefunden werden , welches der letzten Beziehung widerspricht.
Mit ferundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 01. Juni, 2001 - 13:46: |
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Hi Heiko,
Als Beispiel entnehme ich einer Vierfeldertafel
die folgenden Werte:
Für die Ereignisse A,B und der Komplemente A',B' gelte:
P(A) = 0,6 ; P(B) = 0,5 ; folglich P(A') = 0,4; P (B') = 0,5
Ferner sei P(A&B) = 0,2.
Daraus folgt: P(A'& B) = 0,3; P(A&B') = 0,4 ;
P( A' & B' ) = 0,1.
Nun zeigen wir , dass die bedingten Wahrscheinlichkeiten
P (A / B' ) und P( A' / B ) verschiedene Werte annehmen,
nämlich:
P( A / B' ) = P (A&B' ) / P (B') = 0,4 / 0,5 = 0, 8
P( A' / B ) = P (A'&B) / P (B) = 0,3 / 0,5 = 0, 6
Letzteres ist auch nach der ersten Behauptung:
1 - P (A / B ) = 1 - {0,2 / 0,5} = 1 - 0, 4 = 0 , 6
Anmerkung
Eine Aufforderung " beeilt euch " hören wir nicht sehr
gerne !
Mit freundlichen Grüssen
H.R,Moser,megamath. |
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