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Beitrag |
    
Simon Betschmann (Simonb)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 31. Mai, 2001 - 17:47: | 
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Der Grosskreisbogen g verbindet die Punkte A(0°E|45°N) [=0 Grad östliche Breite und 45 Grad nördliche Länge] und B(120°E|30°N). (Erdraudius 6380km)
a) Wie lange ist die Verbindung von A nach B?
b) Unter welchem Winkel gegenüber dem Meridian verlässt der Grosskreis g den Punkt A?
c) Welches sind die Koordinaten des Mittelpunktes auf dem Bogen AB?
d) Welcher ist der nördlichste Punkt des Grosskreises g?
e) Wie lauten die Koordinaten des Punktes von g, der am nächsten bei C(60°E|60°N) liegt?
Vielen Dank für eure Hilfe! |
Kai
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. Juni, 2001 - 21:03: |
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Darf die Errde näherungsweise als Kugel angesehen werden? |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Juni, 2001 - 11:55: |
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Hi Kai,
Du stellst eine gute Frage, für deren Beantwortung ich ein
wenig ausholen muss.
Bei Anwendungen der Kugelgeometrie auf die Erde
machen wir die Voraussetzung, dass die Erde eine Kugel
im Sinn der Geometrie ist.
Diese Voraussetzung ist aber nur angenähert erfüllt, da die
Erde an den Polen abgeplattet ist.
Die Annäherung, dass ein Rotationsellipsoid vorliege,
kommt den Tatsachen besser entgegen.
Nach den Messungen von
Friedrich Wilhelm Bessel ( 1784-1846 )
sind die Halbachsen des Ellipsoides
a = 6377,397 km und b = 6356,079 km.
Knapp 100 Jahre später wurden diese Resultate von Hayford
und Friedrich Robert Helmert ( 1843 -1917 ) auf die Werte
a = 6378,388 km , b = 6356,911 km " verbessert".
Wegen der geringen Abplattung eines solchen Ellipsoides kann
die Erdoberfläche mit guter Näherung durch eine mittlere
Kugelfläche ersetzt werden, deren Volumen mit dem Volumen
des Ellipsoides übereinstimmt.
Daraus entspringt ein Erdradius von R = 6371,... km
Dieser Wert wird in der Sphärik sehr oft verwendet .
Eine meines Wissens noch heute gültige internationale Regelung
geht auf das Jahr 1967 zurück.
Von der "Internationalen Union für Geodäsie und Geophysik" (IUGG)
wurde das Rotationsellipsoid mit den Daten
a = 6378,160 km , b = 6356,775 km erkürt.
Die Abplattung an den Polen ist kleiner als 4 Promille..
Die zu diesem IUGG-Ellipsoid volumengleiche Kugel hat den Radius
R = 6371,024 km.
Für Berechnungen, welche nicht zum Fachgebiet der eigentlichen
Erdvermessung gehören, genügt diese Annahme für R vollauf.
In der Geodäsie allerdings geht man anders vor:
Man ersetzt die Erdkugel durch eine virtuelle Kugel, welche das
sphärische Dreieck in dessen Schwerpunkt berührt und mit der
Erdkugel dieselbe Gausssche Krümmung hat wie das genannte
Ellipsoid
Man arbeitet mit der Schmiegungskugel von Gauss als Ersatzkugel,
damit die Berechnungen nicht allzu kompliziert werden
Diese Angaben sollten vorderhand genügen !
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
Simon Betschmann (Simonb)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. Juni, 2001 - 21:00: |
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Die Ausführen sind ja sehr interessant... nur leider kann ich damit die Aufgaben nicht lösen ;-) Könnte mir dabei nicht jmd. helfen? Ich wäre wirklich sehr froh... Ich habe am MO eine Prüfung darüber. DANKE! |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 08. Juni, 2001 - 10:22: |
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Hi Simon ,
Die Teilaufgaben a) und b) gehören zu den Grundaufgaben
der sphärischen Trigonometrie und sollten unbedingt
gelöst werden können.
Ich werde sie Dir deshalb ausführlich vorlösen
Zuerst eine Klarstellung bezüglich der Bezeichnungen
Der Erdort A hat die geographische Länge
lambda 1 = 0 und die geographische Breite beta 1 = 45°
Der Erdort B hat die geographischen Koordinaten
lambda 2 = 120° und beta 2 = 30 °
Den Ort C, der später ins Spiel kommt, taufen wir um und
nennen ihn P mit den Koordinaten
lambda 3 = 60° , beta 3 = 60°
Uebungshalber schauen wir in einem Atlas nach ,
wo sich diese Orte befinden.
A: unweit Bordeaux in Frankreich
B: bei Hangzhou in China am Ostchinesischen Meer.
P: im Ural bei Serov , Russland.
Teilaufgabe a)
Die Punkte A und B bilden mit dem Nordpol N ein
sphärisches Dreieck ABN, von dem man die zwei Seiten
a = BN = 90° - beta 2 = 60 °,
b = AN = 90° - beta 1 = 45 ° und den Zwischenwinkel
gamma bei N, nämlich
gamma = l ambda 2 - lambda 1 = 120 ° kennt.
Mit dem Seitenkosinussatz berechnen wir die Seite c ,
die dem Winkel gamma gegenüberliegt und uns schliesslich
die sphärische Distanz L der Erdorte A und B liefert.
cos c = cos a * cos b + sin a * sin b * cos (gamma) =
cos 60° * cos45° + sin60° * sin45° * cos120° = 0,137047
Daraus c = 82,123° (Gradmass) und
c = 1,4333166 im BOGENMASS.
Um die Länge L des Bogens zu erhalten. multiplizieren wir
den Erdradius R = 6380 km mit diesem Bogenmass und erhalten:
L = 9145 km.
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Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 08. Juni, 2001 - 11:34: |
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Hi Simon,
Weiter geht's zur Teilaufgabe b) .
Mit Hilfe des Sinussatzes bestimmen wir den
gesuchten Kurswinkel als Innenwinkel alpha
bei der Ecke A im sphärischen Dreiecks ABN.
Es gilt:
sin(alpha) / sin (gamma ) = sin a / sin c , daraus
sin (alpha) = sin(gamma) * sin a / sin c =
sin ( 120° ) * sin ( 60° ) / sin ( 82,123° ) =0,757144.
Daraus entnehmen wir den (spitzen) Winkel
alpha = 49,213°
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Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 08. Juni, 2001 - 13:02: |
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Hi Simon,
Bei der Lösung der Teilaufgabe c) untersuchen wir
das sphärische Dreieck AMN, wobei mit N wieder der
Nordpol und mit M der Mittelpunkt des Grosskreisbogens
AB bezeichnet werden.
Die Bezeichnungen und Daten in diesem Dreieck
sind folgende:
Gegeben ist der Winkel alpha bei a aus Teilaufgabe b):
alpha = 49,213°
Die Seite b = AN = 45° , die Seite AM = u = ½ * c
aus der Teilaufgabe a) : u = 41,0615°
Im Dreieck AMN kennen wir somit zwei Seiten
und den Zwischenwinkel.
Wir berechnen mit dem Seitenkosinussatz die dritte Seite
m = NM, welche A gegenüberliegt
cos m = cos 45° * cos 41,0615° +
sin 45° * sin 41, 0615° * cos 49,213° = 0,8365 :
daraus ergibt sich m = 33, 21921° als " Polhöhe " von M .
Ergänzt man diesen Winkel m auf 90°,
so erhält man sofort die geographische Breite beta
des Erdpunktes M, nämlich
beta M = 56,78078 ° .
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Um noch die geographische Länge des Punktes M zu erhalten,
berechnen wir im Dreieck AMN den Innenwinkel epsilon
bei N mit Hilfe des Sinussatzes :
sin (epsilon) / sin (alpha) = sin u / sin m , daraus
sin (epsilon) = sin(49,213°)*sin(41,0615°) / sin33,21921° =
0,9078203535
Geographische Länge wegen lambda M = epsilon somit:
lambda M = 65,206°
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Wir wollen diesen Mittelpunkt im Atlas aufsuchen.
Er liegt in der Nähe von Ekaterinburg im sibirischen Tiefland.!
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
Simon Betschmann (Simonb)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 10. Juni, 2001 - 14:01: |
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Sehr geehrter Herr Moser
ich habe ihre Rechnungen zur Teilaufgabe a) nachgerechnet, bin aber mit derselben Rechnung auf ein etwas anderes Resultat gekommen:
cos c = cos a * cos b + sin a * sin b * cos (gamma) =
cos 60° * cos45° + sin60° * sin45° * cos120° = 0.047367
--> arccos(0.047) = 87.285° bzw. 1.523 im BOGENMASS
Dann komme ich auf eine Länge von
L=9719.4 km
°°°°°°°°°°°°
Bei der Teilaufgabe b) ist der Winkel zwischen dem GROSSKREIS der A und B verbindet und dem MERIDIAN gefragt. Ihre Rechnung berechnet doch aber den Winkel im Punkt A... nicht aber den gesuchten - oder irre ich mich?
Teilaufgabe c) würde - sofern meine Behauptungen stimmen würden - dann ja auch nicht stimmen.
Mit freundlichem Gruss
Simon Betschmann |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 10. Juni, 2001 - 18:35: |
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Hi Simon,
Es ist verdienstvoll, dass Du alles durchgerechnet hast.
So lernst Du die Materie wirklich kennen , by doing,
wie man neuerdings auch bei uns sagt.
Noch cooler ist, dass Du Fehler gefunden hast,
allerdings keine bei den Formeln an sich, sondern bei den
numerischen Auswertungen. Diese sind bekanntlich im
Gebiete der sphärischen Trigonometrie recht heikel,
weil sie aufwändig (!) sind .
Lästig ist , wenn ein solcher Fehler gleich zu Anfang auftritt
und andere Fehler nach sich zieht wie die Ratte ihren Schwanz.
Korrektur :
Der richtige Wert für c im Gradmass ist c ~ 87,285 °.
Daraus resultiert die Länge L des Bogens AB :
L ~ 9719 km.
Bei Teilaufgabe c) kannst Du leicht korrigierend einwirken.
Das Fundament und das Gerüst stimmen.
Die Teilaufgaben d) und e) erachte ich für Anfänger als zu
schwierig.Lass sie lieber weg und lerne den Rest !
Der Winkel alpha wird neu:48,66°
Dies ist tatsächlich der gesuchte Kurswinkel gegen die
Nordrichtung, weil eine Ecke unseres Dreiecks der Nordpol
ist und alpha als Innenwinkel des sphärischen Dreiecks ABN
bei A der Neigungswinkel der Grosskreisebenen
ABM und AMN darstellt mit M als Kugelmittelpunkt.
Zugleich ist alpha der Winkel der Tangenten an die genannten
Grosskreise in A.
Viel Erfolg morgen !
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 10. Juni, 2001 - 18:39: |
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Hi Simon,
Eine sprachliche Korrektur: am Schluss muss es richtig heissen:
"....den Neigungswinkel (acc. !) darstellt. " .
Gruss
H.R.Moser,megamath. |
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