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SimonB
| | Veröffentlicht am Montag, den 28. Mai, 2001 - 20:11: | 
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"Auf der Einheitskugel betrachten wir das gleichseitige Dreieck desen Ecken den Abstand a vom Nordpol haben. Bestimmen Sie die Funktion F:a--> F(a), wobei F(a) den Glächeninhalt des sphärischen Dreiecks bezeichnet. Diskutieren Sie diese Funktion im Bereich 0<= a <= PI. Wo ist das Wachstum von F am grössten? Wie lauten die Taylorentwicklungen für F beim Entwickenln für a=0 und a=PI?"
Diese Aufgabe sollte ich lösen... Leider kapier ich's ned so - bitte helft mir. |
Silvia
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 29. Mai, 2001 - 17:26: |
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Hallo Du,
mach Dir erst mal eine Skizze! Das Dreieck liegt senkrecht zur Achse der Kugel durch den Nordpol(da alle Ecken den gleichen Abstand haben). Über Pythagoras müsstest Du nun die Diagonalen des Dreiecks ausrechnen können und dann auch die Fläche. So hast Du dann die Fkt. Wenn es bei der Disskusion noch Schwierigkeiten gibt, melde Dich noch mal.
Silvia |
K
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 29. Mai, 2001 - 21:31: |
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Silvia gibt wieder tolle Antworten! |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. Mai, 2001 - 08:07: |
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Hi SimonB ,
Die Ecken des zu untersuchenden gleichseitigen sphärischen
Dreiecks seien A, B ,C ;die drei gleichen Seiten werden mit s
bezeichnet.
A und B bilden mit dem Nordpol N ein weiteres sphärisches Dreieck.
Die Seiten sind NA = a , NB = a, der Zwischenwinkel bei N ist 120°.
Mit dem Seitenkosinusssatz berechnen wir die Seite AB, welche
die gesuchte Seite s darstellt.
cos s = cos a * cos a + sin a * sin a * cos 120°
= (cos a)^2 - ½ * (sin a)^2 = 1 - 3/2 * ( sin a ) ^2...............................(1)
Wir berechnen zusätzlich noch ( sin s ) ^2:
( sin s ) ^ 2 = 1 - ( cos s ) ^ 2 =
¾ * [ 4 -3 * (sin a ) ^ 2 ] * ( sin a ) ^ 2 ..................................................(2)
Wir verwenden nochmals den Seitenkosinussatz,
um den Winkel alpha
bei A des Dreiecks ABC zu berechnen.
Die übrigen Innenwinkel dieses gleichseitigen Dreiecks
stimmen mit alpha überein, sodass der
sphärische Exzess epsilon des Dreiecks mit der Differenz
3 * alpha - Pi übereinstimmt;
epsilon = 3 * alpha - Pi...........................................................................(3)
Wir erhalten :
cos (alpha) = [cos s - cos s * cos s ] / [ sin s * sin s ] =
= [ cos s - ( cos s ) ^ 2 ] / ( sin s ) ^ 2 ,
mit (1) und (2) kommt nach Verinfachungen:
cos (alpha) = [ 2 - 3 * (sin a ) ^ 2 ] / [ 4 - 3* (sin a) ^ 2 ] oder:
cos (alpha) = 1 + 2 / [ 3* (sin a) ^ 2 - 4 ]...............................................(4)
Die gesuchte Fläche A des Dreiecks berechnet man mit dem Exzess
epsilon und dem Kugelradius r nach der Formel
A = r^2 * epsilon ; für die Einheitskugel also
A = epsilon.
Die Gleichungen (3) und (4) ergeben:
A = A(a) = 3 * arc cos [ 1 + 2 / { 3 * (sin a ) ^2 - 4 }] - Pi ...................(5)
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Es lohnt sich, diese Funktion im Intervall 0 < = a < = Pi zu
untersuchen und in einem (a,A) -Koordinatensystem grafisch
darzustellen.
Die Kurve ist symmetrisch zur Parallelen zur A-Achse durch
den Punkt a = Pi/2 auf der a-Achse.
Die Funktion hat Nullstellen bei a = 0 und a = Pi;
sie berührt in den entsprechenden Punkten die a-Achse.
Im Punkt S( ½ Pi / 2*Pi) hat die Kurve eine Spitze..
Hier liegt auch der grösste Anstieg der Funktion vor,
wenn a wachsend gegen ½ * Pi strebt.
Die Taylorentwicklung der Funktion mit a = 0 als Zentrum
lautet:
A(a) = ¾ * wurzel(3)* a^2 + 7/32 * wurzel(3) * a^4 +..............
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Aus Symmetriegründen lautet dann die Entwicklung mit a =Pi als
Zentrum:
A(a) = ¾ * wurzel(3) *(a-Pi) ^ 2 + 7/32 *wurzel(3) * (a-Pi)^4 +.....
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Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
Simon Betschmann (Simonb)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 01. Juni, 2001 - 17:32: |
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Vielen Dank!
Also die Gleichungen (1) bis (4) kann ich voll nachvollziehen und auch selber ausrechnen. Dann komm ich aber nicht mehr weiter. Ich krieg diese vereinfachte End-Version der Gleichung A(a) einfach nicht hin. Bist du sicher, dass die stimmt? Zudem bekomm ich einen ganz eigenartigen Graphen mit dieser Fuktion A(a) = 3 * arc cos [ 1 + 2 / { 3 * (sin a ) ^2 - 4 }] - Pi. Ich bekomm einen stetig steigenden Graphen, der bei ca. -88 beginnt... Das kann doch nicht sein!?!
Oder mach ich was falsch? |
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