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Kugelgeometrie

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SimonB
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Veröffentlicht am Montag, den 28. Mai, 2001 - 20:02:   Beitrag drucken

1) Wie gross ist der Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks mit der Kantenlänge PI/3 auf der Einheitskugel?

2)Wie sieht man aus dem Ergebnis ein, dass sich der Raum nicht lückenlos mit lauter gleich grossen und gleichseitigen Tetraedern füllen lässt?
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Nr.1 konnte ich ja lösen, das gibt: ~0.551 Aber wie der Beweis gehen soll, weiss ich ned.
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Silvia
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Veröffentlicht am Dienstag, den 29. Mai, 2001 - 17:21:   Beitrag drucken

Hallo Simon,
ich weiss jetzt nicht, wie man das mit 1) in Verbindung bringen soll, aber schau dir mal die Formel für das Volumen des gl. Tetraeders an und setzte es gleich der Formel für die einheitskugel und schau, ob Du eine Lsg. finden kannst.

Silvia
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H.R.Moser,megamath.
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Veröffentlicht am Dienstag, den 29. Mai, 2001 - 19:41:   Beitrag drucken

Hi SimonB,

Wir wollen das vorliegende Problem etwas veranschaulichen.
Gegeben sei ein reguläres Tetraeder der Kantenlänge k = 1
mit den Ecken O A B C
Mit O als Mittelpunkt legen wir eine Kugel mit Radius r = 1;
Diese Einheitskugel geht wegen der gewählten Disposition
durch die Ecken A , B , C.
Ueber der Seitenfläche ABC wölbt sich das sphärische Dreieck
mit den Ecken ABC ,von welchem im Aufgabentext die Rede ist
In der Teilaufgabe a) geht es darum , die Fläche A des sphärischen
Dreiecks zu berechnen.
Du hast gute Vorarbeit geleistet und einen richtigen
Näherungswert für A angegeben, nämlich
A ~ 0,551

Die Fläche eines sphärischen Dreiecks kann aus dem
sphärischen Exzess epsilon
(das ist der Ueberschuss der Winkelsumme über Pi hinaus)
und dem Kugelradius r nach der Formel
A = epsilon * r ^ 2 berechnet werden.
Da im vorliegenden Fall r = 1 ist, gilt A = epsilon.

Den Exzess berechnen wir in Anlehnung an Deinen Namen
und zur Kontrolle nach der Formel von Simon L'Huilier.
sie lautet:
tan (epsilon/4) = wurzel [tan {s/2}*tan {(s-a)/2}*tan{s-b)/2}*tan{(s-c)/2]
Der Wert s ist der halbe Umfang der Dreiecks,
also
s = ½ * (a + b+ c)
In unserem Fall gilt für die Seiten: a = b = c = Pi / 3
(Winkel je zweier Tetraederkanten in O)
Somit ist
s = Pi /2 ,
s - a = s- b = s - c = Pi / 6 , mithin nach L'Huilier:
tan (epsilon /4) = [ tan ( Pi /12) ] ^(3/2), daraus
epsilon ~ 0.5512856 wie gehabt.

Zu b )
Wenn der Raum vollständig und lückenlos mit Tetraedern
sollte aufgebaut werden können, müsste der Quotient Q der
ganzen Kugelfläche K und der Fläche A zumindest ganzzahlig
sein, was aber nicht zutrifft.
Wir rechnen: Q = 4*Pi / A ~ 22,8

So weit !

Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath.
.

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