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Beitrag |
    
Aari
| | Veröffentlicht am Montag, den 28. Mai, 2001 - 19:33: | 
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Tag
könnt ihr mir weiter helfen
Eine Lösung von y"+(3x-1)y'/(x^2-x)+y/(x^2-x)=0
lautet y1(x)=x^0(1+x+x^2+...)=1/(1-x).
Man bestimme durch Reduktion der Ordnung eine Unabhängige Lösung y2(x).
Danke |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 29. Mai, 2001 - 15:20: |
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Hi Aari,
Mit der sogenannten Methode der Reduktion der Ordnung
finden wir für die vorgelegte DGL. zweiter Ordnung
aus der Lösung y = y1(x) eine zweite Lösung y =y2(x).
Wir gewinnen eine solche von y1 unabhängige Lösung
durch den Ansatz,
y = f(x) * y1(x) = f(x) * 1 / (1 - x )
Als Resultat ergibt sich für f(x) :
f(x) = ln x , sodass y2(x) = ln x / (1 - x) entsteht.
Man kann mit Hilfe der Wronskischen Determinante
leicht nachweisen, dass die Lösungen y1(x) und y2(x) linear
unabhängig sind und infolgedesssen ein Fundamentalsystem
bilden.
Setzt man die Werte für y , y' und y '' aus dem Ansatz in die
gegebene Dgl. ein, so entsteht eine Differentialgleichung
für f(x), in welcher nur f '' und f ' auftreten, nicht aber f selbst
Diese Gleichung lautet in vereinfachter Form:
x * f '' + f ' = 0
Setzt man noch f ' = p(x) , also f '' = p ' (x) , so erhält man eine Dgl.
erster Ordnung für p = f ', in welcher die Variablen x und p leicht
zu trennen sind
Bei Bedarf gebe ich gerne eine ausführliche Herleitung des Resultates.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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