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Beitrag |
    
Patrick Zingerle (Zinga)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 25. Mai, 2001 - 19:05: | 
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Hi! Wer kann mir bitte den prinzipiellen Berechnungsweg für den Inkugelmittelpunkt eines Tetraeders mittels Vektorrechnung im R3 erläutern... ich verzweifle schon langsam..
thx
zinga
p.s.: es eilt ziemlich... |
Sandra
| | Veröffentlicht am Samstag, den 26. Mai, 2001 - 20:58: |
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Tipp dazu:
Die "kürzesten" Verbindungsvektoren vom Inkugelmittelpunkt auf je eine Tetraederfläche stehen senkrecht darauf, d.h. Skalarprodukt=0 und Entfernung zu den Begrenzungsflächen = Inkugelradius. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 27. Mai, 2001 - 10:07: |
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Hi Patrick ,
Der Radius rho der Inkugel eines regulären Tetraeders
lässt sich auf mannigfache Art berechnen, z.B.
elementargeometrisch oder vektoriell.
Ich führe beides vor.
A]
Elementargeometrische Betrachtungen.
Als Resultat solcher Ueberlegungen ergibt sich:
Für das reguläre Tetraeder der Kantenlänge k gilt:
Der Mittelpunkt T der Inkugel ist der Schnittpunkt
der vier Höhen des Tetraeders.
T teilt jede Höhe im Verhältnis 1 : 3
Radius rho der Inkugel:
rho = k / 12 * wurzel(6)
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Zusatzbemerkung
T ist zugleich der Mittelpunkt der Umkugel, Radius R
und der Mittelpunkt der Kantenkugel, Radius r .
Es gilt:
R = ¼ * k * wurzel(6)
r = ¼ * k * wurzel(2)
R ist die mittlere Proportionale aus R und rho.
B]
Herleitung der Formel für rho mittels Vektorrechnung
Vorkenntnisse :
Der Ortsvektor s1 des Mittelpunktes S1 einer Strecke AB
ergibt sich als arithmetisches Mittel der Ortsvektoren a, b
der Endpunkte:
s1 = ½ * ( a + b )
Der Ortsvektor s2 des Schwerpunktes S2 eins Dreiecks ABC
ergibt sich entsprechend:
s2 = 1/3 * (a + b + c)
Analog gilt für den Ortsvektor s3 des Schwerpunktes S3 eines
Tetraeders ABCD
s3 = ¼ * ( a + b + c + d )
Bezeichnung
Im regulären Tetraeder OABC sei O der Nullpunkt
Die von O ausgehenden Kantenvektoren sind
OA = a ,OB = b , OC = c
S sei der Schwerpunkt der Seitenfläche ABC,
zugehöriger Ortsvektor OS = u
T sei der Schwerpunkt des Tetraeders,
zugehöriger Ortsvektor OT = v
Ziel unserer Berechnung:
Der Betrag des Vektors w = ST ist der gesuchte Radius rho
des Inkreises
Dieser Betrag lässt sich wie folgt berechnen
Für den Vektor u erhalten wir gemäss Einleitung:
u = 1/3 * ( a + b) ,..... für v:
v = ¼ * ( a + b + c)
Der gesuchte Vektor w = ST ist die Differenz v - u
w = v - u = 1/12 * ( 3 c - a - b )........................................................(1)
Um den Betrag dieses Vektors zu ermitteln, bilden wir
das Quadrat w^2 von w und ziehen die Quadratwurzel
aus dem Ergebnis
Es gilt dann:
rho = wurzel (w^2)...............................................................................(2)
Um das Quadrat der rechten Seite der Gleichung (2)
zu bekommen ,multiplizieren wir unter Anwendung
des Distributivgesetzes aus wie in der elementaren Algebra;
auf der rechten Seite entstehen insgesamt sechs Skalarprodukte
Wir merken prophylaktisch an:
Wegen der Regularität des Tetraeders gilt:
für das Skalarprodukt des Vektors a mit ich selbst, also
für das skalare Quadrat a^2 :
a^2 = k^2, ebenso b^2 = k^2 , c^2 = k^2,
wobei k wiederum die Kantenlänge des Tetraeders darstellt.
Für die gemischten Skalarprodukte a.b, b.c , c.a gilt :
nach der Definition des Skalarproduktes
a.b = b. c = c. a = ½ * k ^ 2, weil der Zwischenwinkel
der Vektoren je 60° beträgt und cos 60° = ½ gilt.
Nun können wir es wagen, die Gleichung (1) zu quadrieren;
es kommt:
w^2 = 1 /144 * [9 c^2+ a^2 + b^2 - 6 a . c + 2 a .b - 6 b .c ]
= 1/144*[9 k^2 + k^2 + k^2 - 3 k^2 + k^2 - 3 k^2 ] = 1/24 * k^2
Daraus
rho = 1/12 * wurzel(6) * k , wie oben .
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Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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