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Guybrush
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. Mai, 2001 - 13:50: | 
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Zeige, dass die Vektoren a,b,c einen Würfel aufspannen! Ermittle die Größe der Winkel, die von je zwei Raumdiagonalen des Würfels eingeschlosssen werden!
a(vektor)=(4,3,0)
b(vektor)=(-3,4,0)
c(vektor)=(0,0,5) |
Georg
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. Mai, 2001 - 15:07: |
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Hallo Guybrush,
alle Vektoren haben den Betrag 5, das spricht schon mal dafür, daß der Würfel die Seitenlänge 5 * 5 * 5 hat.
Jetzt muß nur noch bewiesen werden, daß die Vektoren a und b senkrecht aufeinander stehen. Dieser Beweis gelingt, wenn das Skalarprodukt der Vektoren verschwindet.
Skalarprodukt = a * b = 4*3 + (-3*4) = 0
Daß der Vektor c senkrecht auf a und b stehen muß, zeigt sich schon dadurch, daß die Vektoren a und b einen z- Anteil von Null haben und z weder einen x- noch einen y-Anteil hat.
Da alle Vektoren den Betrag 5 haben und jeder Vektor zum nächsten Vektor einen Winkel von 90 ° bildet, spannen die drei Vektoren einen Würfel auf.
Gruß Georg |
Guybrush
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. Mai, 2001 - 23:08: |
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Danke Georg
Wie ist AUfgaben Teil b zu lösen???
Denn das ist der meiner Meinung nach schwerere! |
lnexp
| | Veröffentlicht am Freitag, den 25. Mai, 2001 - 01:51: |
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In einem angepassten Koordinatensystem kann man sich den Würfel so darstellen
Die Vektoren a,b und c kann man wie folgt verteilen:
a=AB
b=AD
c=AE
Eine Raumdiagonale ist dann z.B. AG = a + b + c
Eine andere z.B. BH = BC + CG + GH = b + c - a,
da BC=AD=b, CG=AE=c und GH=BA=-AB=-c
es gilt für den (spitzen) Winkel alpha zwischen den Vektoren AG und BH:
cos(alpha)=|AG°BH|/(|AG|*|BH|)
wobei '°' das Skalarprodukt bezeichnet und '|AG°BH|' den Zahlenbetrag und |AG| bzw. |BH| dee Betrag also die Länge der entsprechenden Vektoren AG oder BH.
Bei Deinem Problem gilt
AG=a + b + c= (4;3;0) + (-3;4;0) + (0;0;5) = (1;7;5)
BH=b + c - a= (-3;4;0) + (0;0;5) -(4;3;0) = (-7;1;5)
Damit gilt |AG°BH|=|(1;7;5)°(-7;1;5)|=1*(-7)+7*1+5*5=25
und
|AG|=|BH|=wurzel(1^2+7^2+5^2)=wurzel(1+49+25)=wurzel(75)
Insgesamt gilt dann
cos(alpha)=25/(wurzel(75)*wurzel(75))=25/75=1/3
Also alpha =ca. 70,52877937...°
Der stumpfe Winkel ist dann beta=180°-alpha=ca. 109,47122063...°
Man kann aber auch gleich für
a=(1;0;0)
b=(0;1;0)
c=(0;0;1)
wählen und bekommt dann das gleiche Ergebnis:
u = a+b+c=(1;1;1) : |u|=wurzel(3)
v = b+c-a=(-1;1;1): |v|=wurzel(3)
u°v=-1+1+1=1
cos(alpha)=1/3
Bei Deinem anderen Problem vom 24.05. kann man
ausserdem entsprechend
a=(2;0;0)
b=(0;2;0)
c=(0;0;1)
wählen (entspricht den Seitenlängen 6cm,6cm,3cm des Quaders)
Dann bekommt man alpha=ca. 83,621 ° , wenn ich mich in der Kürze nicht vertan hab |
Guybrush
| | Veröffentlicht am Freitag, den 25. Mai, 2001 - 09:00: |
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He cool danke!!! |
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