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Miriam (Mmemim)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 22. Mai, 2001 - 16:32: | 
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Hi Ihr!
Muß bis Mittwoch nächster Woche diese Aufgaben gelöst haben, und habe keinen blassen Schimmer wie sie gehen sollen:
1. Ein Viereck ist genau dann ein Sehnenviereck, wenn ein Winkel und sein Gegenüber zusammen 180° ausmachen. Beweisen Sie!
2. Ein Viereck ist genau dann ein Tangentenviereck, wenn die Summen von je zwei Gegenseiten gleich sind. Warum ist das so?
Es wär echt nett, wenn ihr sie lösen könntet!
Gruß Miriam |
J
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 22. Mai, 2001 - 18:58: |
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Zu 1:
Verbinde die Vier Eckpunkte A,B,C,D mit dem Mittelpunkt M des Kreises.
Es entstehen 4 gleichschenklige dreiecke. In jedem Dreieck sind die Basiswinkel gleich groß.
Bezeichne gleiche Winkel mit gleichen Buchstaben.
Wenn du genau hinschaust, siehst du, dass gegenüberliegende Winkel des Sehnenvierecks sich aus je einem dieser vier Winkel zusammensetzen. Daraus folgt direkt, dass im Sehnenviereck die gegenüberleigenden Winkel zwei Paare mit gleich großen Summen bilden. Also müsseen die gegenüberliegenden Winkel zusammen 180° groß sein.
Die Rückrichtung würde ich indirekt beweisen:
Wir nehmen an, dass ABCD ein kein Sehnenviereck ist, aber die gegenüberliegenden Winkel szusammen 180° betragen.
Es gibt in jedem Fall einen Kreis K durch drei der Punkte, z.B. A,B und C.
Dieser kreis habe den Mittelpunkt M
Der Strahl MD schneide den Kreis K in D'. DAnn ist ABCD' ein Sehenviereck. Mithin betragen der Winkel Bei D' und der bei B zusammen 180°.
Die Winkel bei D und bei D' können aber nicht gleich groß sein (Kongruenzsätze!) also haben wir einen Widerspruch konstruiert.
Zu 2) Zeichne ein Tangentenviereck mit seinem Inkreis. Markiere die Berührpunkte! Die Abschnitte von irgendeinem Eckpunkt des Vierecks bis zu den Berührpunkten sind jeweis gleich, da der Mittelpunkt des Inkreises auf der Winkelhalbierenden liegt (Symmetrie!)
Es gibt vier paare von jeweils gleichlangen Abschnitten. du siehst sofort, dass sich die gegenübeliegenden Seiten aus je einem Abschnitt von jeder 'sorte' zusammensetzen. damit sind die Summen der Längen der gegenüberliegenden Seiten gleich !
Die rückrichtung würd ich analog zu oben durch widerspruch beweisen!
Gruß J |
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