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Iris (Karotte)
| | Veröffentlicht am Montag, den 21. Mai, 2001 - 18:32: | 
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Hallo Ihr!
Ich habe hier eine widerspenstige Hausaufgabe, die sich einfach nicht lösen lässt. Ich habe zwar schon ein wenig herausgefunden, bin aber noch lange nicht fertig... Also:
Das zur y-Achse symmetrische Schaubild einer ganzrationalen Funktion möglichst niedrigen Grades soll durch den Ursprung gehen, die Gerade y=4 berühren und in P1(2*(Wurzel 2)|0)die x-Achse schneiden. Wie heißt die Funktion?
Ich habe zwar schon ein paar Bedingungen aufgestellt, finde aber keine Lösung. Auf jeden Fall ist doch
der y-Achsenabschnitt Null,
f(x)=f(-x),
f(x1)=4 ==> f'(x1)=0,
oder?!?
Freue mich über alle Antworten und Vorschläge!
Vielen Dank im Voraus,
Gruss
Iris |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Montag, den 21. Mai, 2001 - 22:09: |
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Hi Iris,
ich lese aus der Aufgabe folgende Bedingungen:
f(x)=f(-x)
f(x1)=4 und f'(x1)=0
f(2*w(2)) = 0
f(0) = 0 (durch den Ursprung)
Da f achsensymmetrisch, kann f nur gerade Potenzen von x enthalten. Der Grad von f ist zwangsläufig gerade.
Wenn Grad f gleich 2 wäre, dann wäre f(x) = a x² + b und f'(x) = 2ax. Aus f(0)=0 folgte b=0. Dann kann man aber a*(2*w(2))² = 0 nicht lösen.
Der nächste mögliche Grad ist 4.
Dann f(x) = ax4 + bx² + c.
Wegen f(0)=0 ist c=0
Löse a*(2*w(2))4 + b*(2*w(2))² = 0
=> a*64 + b*8 = 0
=> 8a + b = 0
=> b = -8a
Die Funktion lautete damit:
f(x) = ax4 -8ax²
Deren Ableitung ist
f'(x) = 4ax3 -16ax
Für ein x1 soll sein:
f(x1) = ax14 -8ax1² = 4
und
f'(x1) = 4ax13 -16ax1 = 0
Die Nullstellen der Ableitung sind {0, +2, -2}.
Aber für 0 wissen wir aus der Voraussetzung, daß f(0) ungleich 4 ist. Bleiben +2 oder -2 für x1.
Wenn nun a so gewählt werden kann, daß f(2)=4 oder f(-2)=4, dann hätte man eine Lösung.
Aus f(2) = 16a-32a = 4 folgt: a = -1/4
Für f(-2) erhält man die gleiche Bedingung. Es ist also gleichgültig, ob der Berührpunkt bei x=2 oder x=-2 liegt, die Funktion ist die gleiche (das folgt auch aus der Symmetrie).
Wie lautet also die Funktion:
f(x) = -1/4 x4 + 2 x2
Probe:
f(0) ist achsensymmetrisch und f(0)=0.
Außerdem ist f(2w(2)) = -16 + 16 = 0.
Schließlich gibt es einen Punkt x1, nämlich +2 oder -2 mit f(2) = f(-2) = 4
und f'(2) = f'(-2) = 0.
Gruß
Matroid |
Iris (Karotte)
| | Veröffentlicht am Montag, den 21. Mai, 2001 - 22:49: |
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Hallo Matroid!
Klasse, vielen Dank! In die Richtung hatte ich ja auch schon gedacht, war nur nicht schlau genug, um weiterzukommen! :-)
Also nochmal Danke für die Hilfe,
Gruß
Iris |
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