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nelle (Nelle18)
| | Veröffentlicht am Montag, den 21. Mai, 2001 - 07:53: | 
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Habe die Stammfunktion
F(x)=1/2[(x*wurzel 1+x²)+ln(x+wurzel 1+x²)] ,von
y=f(x)=Wurzel 1+x².
Wie bilde ich die gegebene Stammfunktion von f,
bitte mit ausführlichen Lösungsweg.
Danke für die Hilfe!!!
MfG nelle |
Martin K
| | Veröffentlicht am Montag, den 21. Mai, 2001 - 22:32: |
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Hallo nelle,
die Lösung diese Integral ist schwer, aber wir versuchen es trotzdem.Außerdem stehen am ende alle Formel die man für diese aufgabe braucht.
òwurzel(x²+1)dx
Zuerst muß man substituieren.
x=sinhz-->x²=sinh²z
Aus cosh²z-sinh²z=1 erhält man
sinh²z = cosh²z-1
x²=sinh²z
x²=cosh²z-1
wurzel(x²+1)=coshz
x=a sinhz--> dx/dz=coshz
nun:
òwurzel(x²+1)
òcosh(z) cosh(z) dz
òcosh²(z) dz
ò1/2+1/2cosh(2z)dz
1/2z+1/4sinh(2z)
1/2z+1/2sinh(z) cosh(z)
1/2(z+sinh(z) cosh(z))
jetz wir rücksubstituiert:
x=sinh(z)-->z=arcsinh(x)
=1/2{arcsin(x)+sinh(arcsin(x))wurzel (x²+1)
=1/2ln[x+wurzel(x²+1)]+1/2 x wurzel(x²+1)
zusätzliche Formeln:
Arcsin(x)=ln(x+wurzel(x²+1))
cosh²x=1/2+1/2cosh(x)
cosh(2x)=2cosh(x)sinh(x) |
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