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Beitrag |
    
Iris (Karotte)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 20. Mai, 2001 - 20:33: | 
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Hallo!
Ich habe zwei Fragen an Euch:
1. Was genau ist der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung? Bin gerade am verzweifeln, da mir Buch und einige Lexika immer was anderes liefern. Trotz Bemühungen werde ich einfach nicht schlau daraus!
2. Wie integriert man gebrochenrationale Funktionen? Welche Rolle spielt die Quotientenregel dabei?
Vielen, vielen Dank im Voraus! :-)
Gruss,
Iris |
Holger (Matheholger)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 20. Mai, 2001 - 21:15: |
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1. Der Hauptsatz sagt, dass Integrieren das Gegenteil vom Ableiten ist.
Auf Mathematisch:
Jede Integralfunktion einer stetigen Funktion ist differenzierbar. Ihre Ableitung ist die Integrandenfunktion
In Symbolen:
(òa x f(t)dt)' = f(x) |
Holger (Matheholger)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 20. Mai, 2001 - 21:30: |
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2. Es gibt mehrere Möglichkeiten, gebrochenrationale Fu. abzuleiten:
1. Im Nenner steht nur ein Produkt
z.B. f(x) = (5x²+3x+2)/(2x²)
Hier muss man den Bruch aufteilen, wie wenn man
7/8 + 3/8 = (7+3)/8 von rechts nach links rechnet:
f(x) = (5x²+3x+2)/(2x²)=5x²/(2x²) + 3x/(2x²)+2/(2x²)
= 5/2 + 3/2x + 1/x²
Dann jeden Summanden einzeln Integrieren:
F(x) = 5/2 *x + 3/2 ln|x| - 1/x
2. Im Zähler steht die Ableitung des Nenners:
Hier gilt die Regel:
Stammfunktion ist ln vom Betrag des nenners, also
ò f'(x) / f(x) dx = ln|f(x)| + c
z.B. f(x) = (x - 2)/(x² - 4x)
Hier geht das so:
da (x² - 4x)' = 2x - 4
ist im Zähler des Bruchs die Hälfte der gesuchten Ableitung. Also schreibt man den Zähler als 1/2 * (2x - 4) und zieht das 1/2 vors Integral:
ò (x - 2)/(x² - 4x)dx = 1/2 * ò (2x - 4)/(x² - 4x) dx = 1/2 * ln |x² - 4x| + C
Ich hoffe du hast was verstanden
Liebe Grüße und viel Spaß damit wünscht dir
dein Holger |
Iris (Karotte)
| | Veröffentlicht am Montag, den 21. Mai, 2001 - 18:38: |
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Hallo Holger!
Vielen Dank für Deine Antworten, sie haben mir schon sehr weitergeholfen!
Eine Frage hätte ich aber noch:
Wie integriere ich z.B. (3x^3+8x)/(5x12-2x+6) ??
Ist mir schleierhaft...
Danke & viele Grüße,
Deine Iris |
Holger (Matheholger)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 22. Mai, 2001 - 14:59: |
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Hallo Iris!
Zuerst mal würde mich interessieren, ob du in einem Grund- oder Leistungskurs bist. Bist du nämlich in einem Grundkurs, wird nur dann die Berechnung der Stammfunktion verlangt, wenn eine der beiden Formen von oben vorliegt. Ansonsten heißt eine Aufgabe "Zeigen Sie, dass F mit F(x) = .... eine Stammfunktion von f ist."
Dazu musst du erst mal die gegebene Funktion F ableiten. Erhältst du dann als 1. Ableitung von F die Ausgangsfunktion f, dann ist F Stammfunktion von f. (Das sagt ja der Hauptsatz - vgl. oben!)
Und dann nimmst du F her und setzt die obere und untere Grenze ein.
Beispiel:
Gegeben ist f:
fa(x) = (2x² - 4a²)/(x² - a²)
1. Zeige, dass Fa mit
Fa(x) = 2x + a[ln(x+a) - ln(x - a)] ( mit x > a)
eine Stammfunktion von f-{a} ist.
2. Bestimme ò2a 3afa(x) dx.
Lösung:
1.
F'a(x)= 2 + a[1/(x+a) - 1/(x-a)] =
2 + a{(x-a)-(x+a)/[(x-a)(x+a)]} =
= 2 + a{(x-a-x-a)/[(x-a)(x+a)]}
= 2 + a{-2a/[(x-a)(x+a)]}
= 2 - 2a²/[(x-a)(x+a)]
= [2(x-a)(x+a)]/[(x-a)(x+a)] - 2a²/[(x-a)(x+a)]
= [2(x-a)(x+a) - 2a²]/[(x-a)(x+a)]
= [2(x²-a²) - 2a²]/[(x-a)(x+a)]
=[2x²-2a² - 2a²]/[(x-a)(x+a)]
=[2x²- 4a²]/[(x-a)(x+a)]
=[2x²- 4a²]/[x²-a²] = fa(x)
Also ist Fa eine Stammfunktion von fa.
2.
ò2a 3afa(x) dx =
= ò2a 3a [2x²- 4a²]/[x²-a²] dx =
=[ 2x + a[ln(x+a) - ln(x - a)]2a3a
=[ 2*3a + a[ln(3a+a) - ln(3a - a)] - [ 2*2a + a[ln(2a+a) - ln(2a - a)]]
=[ 6a + a[ln(4a) - ln(2a)] - [ 4a + a[ln(3a) - ln(a)]]
= 6a + a[ln4 + lna - ln2 - lna] - [ 4a + a[ln3 + lna - lna]] =
= 6a + a[2ln2 + lna - ln2 - lna] - [ 4a + a[ln3 + lna - lna]]
= 6a + a*ln2 - [ 4a + a*ln3 ]
= 6a + a*ln2 - 4a - a*ln3
= 2a + a*ln2 - a*ln3
War die Aufgabe so?
Versuchs mal
Liebe Grüße dein Holger |
Cornelia
| | Veröffentlicht am Freitag, den 06. Juli, 2001 - 10:49: |
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Hallo Holger!
Suche die Stammfkt. von 500/(2x+5)^2!Warte auf schnelle Antwort.
DANKE CONNY |
Dagobert
| | Veröffentlicht am Freitag, den 06. Juli, 2001 - 12:12: |
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Hallo Cornelia,
Bitte neuen Beitrag öffnen! |
Thomaspreu (Thomaspreu)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 06. Juli, 2001 - 12:39: |
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-250/(2*x+5) |
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