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Walter
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. Mai, 2001 - 16:56: | 
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Hallo Leute habe ein Problem mit zwei Aufgaben
Man löse mit Variation der Konstanten
A) y-y"=1/(1+e^x)
B)y"+4y=2tanx
Danke
Walter |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 18. Mai, 2001 - 07:09: |
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Hi Walter,
Empfehlung: siehe im Archiv unter dem Stichwort
"Kategorien" nach.
Dort findest Du im Abschnitt 5 eine vortreffliche Anleitung,
wie man homogene Differentialgleichungen zweiter Ordnung
löst.
Ich kann mich daher bei der Lösung der entsprechenden homogenen
Gleichung bei Deinen Differentialgleichungen kurz fassen
Beispiel B]
Lösung der homogenen Dgl.
charakteristische Gleichung: k ^ 2 + 4 = 0
Die Lösungen k1 = i2 und k2 = - i2 sind rein imaginär
Die allgemeine Lösung der homogenen Dgl. lautet daher:
yh = c1*cos (2 x) + c2*sin (2 x) , mit den Integrationskonstanten.
c1 und c1
Wählen wir c1 = 1, c2 = 0 , so kommt y = y1= cos (2 x),
für c1 = 0, c2 = 1 ergibt sich die Lösung y = y2 = sin (2 x).
Mit diesen speziellen Lösungen der homogenen Dgl. werden wir
weiter arbeiten und schliesslich eine partikuläre Lösung yp der
inhomogenen Gleichung gewinnen.
Zunächst ermitteln wir die Wronskische Determinante W aus
Der Definitionsgleichung
W = y1 * y2' - y2* y1' ,
mit y1' = - 2*cos 2x und y2' = 2* cos 2 x erhalten wir
W = 2 als eine Konstante,
Jedenfalls ist W von null verschieden und daher bilden y1 und y2
Als linear unabhängige Lösungen ein Fundamentalsystem für
den Lösungsraum der homogenen Dgl.
Wir schalten hier eine Pause ein, bevor wir yp ermitteln
Unterdessen kannst Du mit Deinem Beispiel A]
analog verfahren.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 18. Mai, 2001 - 08:05: |
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Hi Walter,
Wenn verlangt wird, es sei die Methode der
Variation der Konstanten anzuwenden, kann man
sich ohne weiteres darauf berufen, dass man das Rad
nicht jedesmal neu erfinden muss.
Die famose Formel F, die ich zur Ermittlung einer
speziellen Lösung yp der inhomogenen Gleichung
anwenden werde, kann gerade mit dieser Methode
hergeleitet werden.
Selbstverständlich verzichte ich hier auf eine solche
Herleitung .
Mit den linear unabhängigen Lösungen y1(x) ,y2(x)
der homogenen Dgl. , der zugehörigen
Wronski-Determinante W(x) und der Störfunktion f(x)
auf der rechten Seite der inhomogenen Dgl.
lautet die Formel:
yp = - y1(x) * int [ f(x) * y2(x) / W(x) * dx ] +
y2(x) * int [f(x) * y1/x) / W(x) * dx..............................(F)
Für das Beispiel B] gilt:
f(x) = 2 * tan (x) , y1 = cos 2x , y2 = sin 2x , W = 2 ,
mithin erhalten wir mit den Abkürzungen
u (x)= f * y2 / W = tan x * sin 2x,
v (x) = f * y1/ W = tan x * cos 2x:
mit der Forme l(F):
yp = - cos (2x ) * int [u(x)*dx] + sin 2 x * int [v(x) * dx ]
Die Integration wird in einer separaten Rechnung
entweder von Hand oder mit einem Computerprogramm
durchgeführt
Resultat:
yp = -cos (2x) * [x - sin x * cos x] +
sin (2x) * [ -{cos x }^2 + ln ( cos x ) ]
ohne zusätzliche Integrationskonstante !
Addierst Du nun diese spezielle Lösung der inhomogenen
Dgl.zur allgemeinen Lösung der homogenen ,
so stellt die Summe die allgemeine Lösung der gegebenen
inhomogenen Gleichung dar
Ich habe mit Maple eine entsprechende Kontrolle durch Einsetzen
in die gegebene Gleichung ausgeführt.
Alles o.k. !
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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