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Julia
| | Veröffentlicht am Montag, den 14. Mai, 2001 - 16:34: | 
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Hallo,
wer kann mir bei folgender Aufgabe helfen?
Gegeben sei die Funktion f: R nach R mit f(x) = x^2 für x >= 0, -x^2 für x < 0.
Ist der Mittelwertsatz g'(x0) = (g(b) - g(a)) / (b - a) mit x0 E (a,b) für a = -1 und b = 1 auf f bzw. f' anwendbar? Man bestimme ggf. die Zwischenstelle(n) x0.
Hilfeeee! |
Andra
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 15. Mai, 2001 - 10:16: |
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Hallo Julia,
der Mittelwertsatz ist anwendbar, wenn die Funktion f(x) in einem abgeschlossenen Intervall [a,b] stetig ist und im Innern eine Ableitung existiert.
Es ist also gefragt: Ist f(x) auf [a,b] stetig. Ist f(x) auf (a,b) differenzierbar?
Die "Bruchstelle" bei f(x) ist x=0, diese sollte untersucht werden, der Rest des Intervalles ist klar stetig und differenzierbar, da x2 und -x2 zwei stetige und differenzierbare Funktionen sind.
Stetig:
lim(x->0, x < 0) f(x) = lim(x->0, x > 0) f(x)
lim(x->0, x < 0) -x2 = lim(x->0, x > 0) x2
0 = 0
also stetig.
Differenzierbarkeit: (zunächst f'(x) berechnen)
f'(x) = 2x für x>=0, -2x für x<0
lim(x->0, x < 0) f'(x) = lim(x->0, x > 0) f'(x)
lim(x->0, x < 0) -2x = lim(x->0, x > 0) 2x
0 = 0
also differenzierbar.
=> der Mittelwertsatz ist anwendbar.
f'(x0) = (f(b) - f(a))/(b - a), x0 Element (a,b)
hier gefragt a = -1 und b = 1
f(1) = 1, f(-1) = -1
f'(x0) = (1 - (-1))/(1 - (-1)) = 2/2 = 1
f(x) besitzt also zwischen -1 und 1 mindestens einen Punkt mit Steigung 1 (und zwar x0 = 0,5 und x0 = -0,5).
Ciao, Andra |
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