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Beitrag |
    
Anonym
| | Veröffentlicht am Montag, den 13. Dezember, 1999 - 17:05: | 
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fa(x) = (ax^3+9x) : (18(x^2-1))
für a = 2: Fläche die der Graph mit y=17/27
einschließt |
Anonym
| | Veröffentlicht am Montag, den 13. Dezember, 1999 - 20:11: |
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Wie funktioniert eine Partialbruchzerlegung? |
Ingo
| | Veröffentlicht am Montag, den 13. Dezember, 1999 - 21:19: |
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Bei der Partialbruchzerlegung versuchst Du einen Bruch als Summe zweier einfacherer Brüche darzustellen,die man einfacher integrieren kann.
Beispiel : f(x)=(x2+2x+3)/(x3+x2+x+1)
x3+x2+x+1=(x+1)(x2+1) also lautet der Ansatz
f(x)=a/(x+1) + b/(x2+1) = [a(x2+1)+b(x+1)]:[(x+1)(x2+1)] = [ax2+bx+(a+b)]:(x3+x2+x+1)
=> a=1 und b=2
d.h. f(x)=1/(x+1) + 2/(x2+1) und das läßt sich wunderbar integrieren. |
Zaph
| | Veröffentlicht am Montag, den 13. Dezember, 1999 - 23:08: |
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Dass das hier geklappt hat, war etwas Zufall. Der Ansatz im obigen Beispiel muss lauten
f(x) = a/(x+1) + (bx+c)/(x²+1)
(Es sind ja zum Schluss drei Gleichungen zu lösen, also brauchst du i.A. auch drei Unbekannte) |
Ingo
| | Veröffentlicht am Montag, den 13. Dezember, 1999 - 23:20: |
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War kein Zufall,das Beispiel war so konstruiert. |
Anonym
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Dezember, 1999 - 10:24: |
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Wie sieht das bei obiger funktion aus? |
Zaph
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Dezember, 1999 - 10:58: |
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Zunächst musst du den Grad des Zählers mittels Polynomdivision kleiner machen als den Grad des Nenners:
(ax³ + 9x) / (18(x² - 1)) = ax/18 + (a + 9)/18 * x/(x² - 1).
Für den letzten Term jetzt PBZ.
Ansatz: x/(x² - 1) = A/(x - 1) + B/(x + 1)
A/(x - 1) + B/(x + 1) = [A(x + 1) + B(x - 1)] / [(x - 1)(x + 1)] = [(A + B)x + (A - B)] / (x² - 1)
Nun Koeffizientenvergleich im Zähler:
A + B = 1, A - B = 0.
Es folgt A = B = 1/2.
Insgesamt also
(ax³ + 9x) / (18(x² - 1)) = ax/18 + (a + 9)/(36(x + 1)) + (a + 9)/(36(x - 1)) |
Anonym
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. Januar, 2000 - 17:58: |
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Vielen Dank für den Tipp! Könntet ihr bitte noch nachrechnen, wie die Stammfunktion lautet (ich habe zwar ein Ergebnis, möchte aber sichergehen)?
Außerdem benötige ich für den Fall a=2 die Fläche, die der Funktionsgraph der Ausgangsfunktion mit der Geraden y = 17/27 einschließt (ebenfalls zur Ergebniskontrolle). |
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