| Autor |
Beitrag |
    
Rachel
| | Veröffentlicht am Montag, den 14. Mai, 2001 - 12:08: | 
|
wer kann mir bei folgender Aufgabe helfenß
Gegeben ist die Funktion f: ln(4+x)- ln(4-x) mit der definitionsmenge D: ]-4;4[
1. Untersuchen sie f auf _Nullstellen und ermitteln sie das Verhalten von f an den rändern des Definitionsbereichs.
2. Untersuchen sie das monotonieverhalten von f. Weisen sie nach, dass Gf genau einen Wendepunkt besitzt und berechnen sie dessen koordinaten.
3. Begründen sie, dass die Funktion f eine Umkehrfunktion f-1 besitzt und bestimmen sie den Funktionsterm |
J
| | Veröffentlicht am Montag, den 14. Mai, 2001 - 15:49: |
|
Zu 1)
ln(4+x) -ln(4-x) = 0
<==> ln(4+x)=ln(4-x)
<==> 4+x=4-x (wegen der Monotonie der ln-Funktion
<==> x=0
lim(x->-4) f(x)=-unendlich, da der erste Minuend den Grenzwert -unendlich hat ud der subtrahend den Grenzwert ln(8)
Da die funktion offensichtlich punktsymmetrisch zum Ursprung ist, folgt direkt, dass lim(x->+4) f(x)= + unendlich
2) f'(x)=1/(x+4)-1/(x-4)
Da 1/(x+4) >0 und 1/(x-4) < 0 für alle x aus D ist, ist f'(x) >0 für alle x aus D, demnach ist f streng monoton steigend.
f''(x)= 1/(x-4)² -1/(x+4)²
Nullstellen davon bestimmen:
0= (x+4)²-(x-4)²
0= x²+8x+16-(x²-8x+16)
0=8x
x=0
Also kann es höchstens einen WP geben. Wegen der Punktsymmetrie muss andererseits der Ursprung WP sein.
3) da f streng moton steigend ist, muss f umkehrbar sein.
y= ln(x+4)-ln(x-4)
<==> ey = eln(x+4)-ln(4-x)
<==> ey = eln(x+4)/eln(4-x)
<==> ey = (x+4)/(4-x)
<==> ey*(4-x) = x+4
<==> ey*4 -ey*x=x+4
<==> (-1- ey)*x = 4*(-ey+1)
<==>x =4*(-ey+1)/(-1- ey)
Damit hat die Umkehrfunktion die Gleichung:
f-1(x)=4*(-ex+1)/(-1- ex) |
Rachel
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 15. Mai, 2001 - 15:11: |
|
Vielen vielen Dank für die Lösung. Jetzt weiß ich wenigstens das ich nicht ganz falsch liege. |
|
