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Beitrag |
    
AC
| | Veröffentlicht am Samstag, den 12. Mai, 2001 - 12:12: | 
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Hallo Leute
Ich hab hab 6 Diffglei. 2.Ordnung aufgekommen
nur wie rechnet man die.
Könnt ihr mir 2 Bsp. Lösen die damit mir die anderen leichter fallen.
y"+5y'+6y=0
bei der zweiten ist ein Fundamentalsystem gesucht:
3y"+14y'+(49/3)*y=0
Danke
(Wäre toll heute noch damit ich mir die anderen 4 Diff.gl. morgen rechen kann) |
Fern
| | Veröffentlicht am Samstag, den 12. Mai, 2001 - 14:22: |
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Hallo AC,
Homogene Differenzialgleichungen 2.Ordnung können in 3 Kategorien eingeteilt werden.
Je nachdem die charakteristische Gleichung
a) zwei reelle Wurzeln
b) eine reelle Doppelwurzel
c) zwei (konjugiert) komplexe Wurzeln
hat.
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1) Beispiel:
y" + 5y' +6y = 0
Die charakteristische Gleichung ist:
r² + 5r +6 = 0
Die Lösungen dieser Gleichung sind:
r1 = -2
r2 = -3
also zwei reelle Wurzeln.
Die allgemeine Lösung der dazugehörigen Differenzialgleichung ist dann:
y = A*er1x + B*er2x
für unser Beispiel:
y = A*e-2x + B*e-3x
wobei A und B irgendwelche Konstanten sind.
Sie können bestimmt werden, wenn man Anfangsbedingungen kennt.
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2) Beispiel:
3y" + 14y' +(49/3)y = 0
Die charakteristische Gleichung ist:
3r² +14r +49/3 = 0
mit den Lösungen:
r1= -7/3
r2= -7/3
Beide Lösungen sind gleich!
Jetzt kann man NICHT schreiben:
y = A*e-(7/3)x + B*e-(7/3)x weil man dies zusammenfassen könnte
zu y = C*e-7/3)x
Die allgemeine Lösung muss aber immer zwei unbestimmte Konstanten enthalten.
Die richtige Lösung ist:
y = A*e-(7/3)x + B*x*e-(7/3)x
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Die beiden Funktionen: e-(7/3)x und x*e-(7/3)x bilden ein sogenanntes Fundamentalsystem.
Man kann eine Funktion nicht durch Multiplikation mit einer Konstanten in die andere Funktion überführen.
Man sagt auch: beide Funktionen sind linear unabhängig.
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Jetzt müsstest du eigentlich auch die übrigen DGL rechnen können, vorausgesetzt, ihre charakteristischen Gleichungen haben keine komplexen Wurzeln.
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AC
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 13. Mai, 2001 - 17:51: |
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Hallo Fern
Hier hab ich eins dabei mit komplexen Wurzeln
y"+6y'+10y=0
AC |
Fern
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 13. Mai, 2001 - 18:19: |
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Hallo AC,
Falls die Lösung der charakteristischen Gleichung die komplexen Lösungen:
r = a ± bi hat, so lautet die allgemeine Lösung der DGL:
y = A*eaxcos(bx) + B*eaxsin(bx)
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Unser Beispiel:
y"+6y'+10y = 0
r² + 6r +10 = 0
r = -3 ± i
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y = Ae-3xcos(x) + Be-3xsin(x)
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Beachte: Obwohl die ch. Gl. komplexe Lösungen hat, ist die allgemeine Lösung der DGL reell.
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Die Ansätze für die Lösungen (der 3 Fälle) solltest du auswendig lernen.
Sie können nicht "berechnet" werden, sondern wurden von Mathematikern durch probieren herausgefunden. (Glaube ich zumindest).
Wie du siehst, stellen homogene DGL 2. Ordnung keinerlei Schwierigkeiten dar (wenn man's weiß).
Schwierigkeiten erst, wenn die Gleichung nicht mehr homogen sondern auf der rechten Seite ein sogenanntes Störglied hat.
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