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Zveni (Zveni)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 12. Mai, 2001 - 01:23: | 
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Hallo, ich habe folgendes Problem. Vielleicht kann sich ja mal jemand drum kümmern. Ich soll folgende Integrale mittels Partialbruchzerlegung lösen. Welche Werte dürfen a und b annehmen. Die Lösung des Integrals habe ich bereits hingeschrieben. Aber wie mache ich es mittels Partialbruchzerlegung. Es wäre schön, wenn Ihr es mir anhand der Bsp. erklären könntet.
Danke Zwen
a) Integral von a - b (3x^2+2x-3)/x^3-x dx Die Lösung ist ln [((|x|)^3*|x-1|)/(|x+1|)]
b) Integral von a - b (5x-1)/(x^3-3x-2) dx Die Lösung ist ln [(|x-2|)/([x+1|) - 2/(x+1)]
c) Integral von a - b (3x^2+2x+1)/((x+1)^2*(x^2+1)) dx Die Lösung ist
ln [(x^2+1/(x+1)^2)]/2 + tan^(-1) (x) - 1/(x+1) |
Lerny
| | Veröffentlicht am Samstag, den 12. Mai, 2001 - 10:18: |
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Hi Zwen,
Partialbruchzerlegung zu a)
f(x)=(3x²+2x-3)/(x³-x)
Wegen x³-x=x(x²-1)=x(x+1)(x-1) gilt
f(x)=A/x+B/(x+1)+C/(x-1)
auf Hauptnenner bringen
=[A(x²-1)+Bx(x-1)+Cx(x+1)]/(x³-x)
=[Ax²-A+Bx²-Bx+Cx²+Cx]/(x³-x)
=[(A+B+C)x²+(-B+C)x+(-A)]/(x³-x)
Koeffizientenvergleich:
A+B+C=3
-B+C=2 =>C=B+2
-A=-3 => A=3
In die erste Gleichunge einsetzen:
3+B+B+2=3 =>2B+2=0 => 2B=-2 => B=-1
C=B+2=-1+2=1
Somit ist
f(x)=3/x-1/(x+1)+1/(x-1)
òf(x)dx
=3ln|x|-ln|x+1|+ln|x-1|
=ln|x|³+ln|x-1|-ln|x+1|
=ln(|x|³*|x-1|)-ln|x+1|
=ln(|x|³*|x-1|/|x+1|)
mfg Lerny |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Samstag, den 12. Mai, 2001 - 11:08: |
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Hi Zveni,
Für die Partialbruchzerlegung Deiner letzten Aufgabe
machen wir den Ansatz:
A / ( x +1) ^ 2 + B / ( x + 1 ) + ( C x + D ) / ( x ^ 2 + 1 )
Addiert man die Brüche, erhält man im Nenner wiederum
den Nenner des Integranden.
Der Zähler Z wird :
Z = A*(x^2+1) + B*(x+1)*(x^2+1) + (Cx + D)* (x+1)^2
Löst man alle Klammern , ordnet und vergleicht Z mit dem
Zähler des Integranden,
so erhält man vier lineare Gleichungen für A,B,C,D:
B+C=0
A+B+2C +D = 3
B+C +2D = 2
A+B+D = 1
Die Lösungen sind: A =1 , B = - 1 , C = 1 , D = 1.
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Jetzt kannst Du leicht das unbestimmte Integral und
danach das bestimmte anschreiben.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
Zveni (Zveni)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 13. Mai, 2001 - 03:37: |
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Hallo vielen Dank für Eure Lösungen. Ich konnte diese nachvollziehen. Lerny kannst Du bitte kurz noch etwas darüberschreiben, wie man auf A+B+C=3 und A=3 kommt. Das wäre super lieb von Euch. Danke |
Lerny
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 13. Mai, 2001 - 08:38: |
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Hi Zweni
der Zähler deiner Funktion ist 3x²+2x-3
nach dem Umformen ist er (A+B+C)x²+(-B+C)x+(-A)
Nun vergleicht man die Koeffizienten von x² miteinder; also
A+B+C=3
dann die von x; also -B+C=2
und schließlich die ohne x: -A=-3
Somit hast du ein Gleichungssystem mit 3 Variablen, dass du dann nur noch auflösen musst.
Hoffe, dass es jetzt klarer ist. Sonst melde dich einfach noch einmal.
mfg Lerny |
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