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Astrid (Astridf)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. Mai, 2001 - 16:07: | 
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Ich muss ein Fachreferat über Näherungsverfahren für die Nullstellenberechnung halten. Ich soll mich auf die Formelsammlung Seite 20 beziehen.
Dabei geht es speziell um
1. das Sehnenverfahren (regula falsi)
2. das Tangentenverfahren (Newton'sches Näherungsverfahren)
und
3. das Iterationsvefahren
Die Formeln sagen mir leider nicht allzu viel. Zu Punkt 1 und 2 hab ich schon was gefunden. Das Iterationsverfahren ist für mich immer noch ein großes Fragezeichen.
Wär super wenn mir jemand bevorzugt das Iterationsverfahren erklären könnte, eine schöne Erklärung für die anderen beiden wäre aber auch noch hilfreich.
BITTE, ICH BRAUCHE SCHNELL EURE HILFE!
Bye Astrid |
Ute Jürgens (Angua)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. Mai, 2001 - 18:13: |
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1. Das Sehnenverfahren " Regula falsi "
Voraussetzung : Nur die Stetigkeit von f und nicht die Differenzierbarkeit ...
Zur Feststellung des Schnittpunktes eines Graphen mit der x-Achse bildet man eine Wertetafel.Aus ihr entnimmt man zwei Punkte P1(x1,y1) und P2(x2,y2), welche nahe an der x-Achse liegen. Dabei ist zu beachten, daß die Werte y1 und y2 verschiedene Vorzeichen haben.
Der gesuchte Wert x muß dann dazwischen liegen.
Die Herleitung der Berechnung fällt mir hier etwas schwer, da ich nicht weiß, wie ich eine Graphik einfügen soll ...
Aber mathematisch würde ich das ganze so darstellen :
y2:-y1= ( x2-x3): (x3-x1)
y2*(x3-x1) = - y1*(x2-x3)
y2*x3-y2*x1 = y1*x3-y1*x2
y2*x3-y1*x3 = y2*x1-y1*x2
x3*(y2-y1) = x1*y2-x2*y1
x3 = (x1*y2-x2*y1): (y2-y1)
Eine gebräuchliche Form erhält man, wenn im Zähler ohne Veränderung des Wertes x2*y2
subtrahiert und anschließend wieder addiert wird.
Durch Kürzen erhält man dann die sogenannte Regula falsi :
x3 = x2- [(x2-x1): (y2-y1)] * y2
Wiederholt man nun das Verfahren, indem man aus dem gewonnenen Wert x3 nun x4,x5... berechnet, so nähert man sich immer mehr der exakten Lösung x
Ich hoffe, das hilft Dir schonmal weiter .. wenn Du noch ein Beispiel möchtest, melde Dich !
Sorry wg . der Formatierung, hab so meine Schwierigkeiten mit dem Tieferstellen aber z.B.y2 soll auch y2 heißen ;-) |
Ute Jürgens (Angua)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. Mai, 2001 - 18:28: |
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Beim Tangentenverfahren ( Newtonsches Verfahren) muß die Funktion ( anders als beim Sehnenverfahren)differenzierbar sein..
Ausgangspunkt ist ein möglichst nah an der x-Achse liegender Punkt P1(x1/y1). Die Tangente im Punkt P1 schneidet die x-Achse in B und ergibt somit die Näherungslösung x2.
Die Bestimmung der Steigung des Winkels alpha 1 aus dem Dreieck BAP\-1 ergibt die Größe x2 .
( A = Punkt auf der x-Achse beim x-Wert von P1, B = Schnittpunkt der Tangente mit der x-Achse )
tan alpha1 = y1/x1 -x2
für tan alpha setzen wir die erste Ableitung ein
:
tan alpha1 = f(x1)/x1-x2
tan alpha1 = f'(x1)
Umstellung der Gleichung :
x1 - x2 = f(x1)/f'(x1)
x2 = x1 - ( f(x1 : f'(x1)
---> Verfahren nach Newton !
Die Bestimmung des Winkels alpha 2 aus dem Dreieck CBP2 ergibt die Größe x3...
Weitere Annäherung also durch Wiederholungen des Verfahrens .
Mit diesem Verfahren kommt man meistens schneller zum Ziel, als wenn man die Regula falsi verwendet -... |
Ute Jürgens (Angua)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. Mai, 2001 - 18:55: |
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Für Iteration hab ich leider keine Zeit mehr, vielleicht später ! |
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