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jenni18
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. Mai, 2001 - 16:46: | 
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Hallo,
ich brauche dringend eure Hilfe bei folgender Aufgabe. Ich wäre euch Mathegenies echt dankbar, wenn Ihr mir an dieser Aufgabe in kurzen Stichworten die Extremwertberechnung erklären könnt.
In eine Kugel mit dem gegebenen Radius R soll ein Zylinder eingeschrieben werden.
V kugel = 4/3 * pi *r^3
V zyl = pi * r^2 * h
4.1. Wie groß ist der Grundradius r und die Höhe h des Zylinders zu wähles, daß das Volumen des Zylinders maximal wird.
Hinweis: geben Sie den Definitionsbereich der Zielfunktion an.
4.2. Bestimmen Sie das maximale Volumen Vmax des Zylinders!
4.3. Berechnen Sie das verhältnis V max(zyl.) zu V kugel.
Ich bin euch schon mal im Voraus sehr dankbar. |
Rose
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. Mai, 2001 - 18:28: |
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Liebe Jenni18 !
Weil es so dringend ist hier ein schneller Versuch ohne Zeichnung. Ich hoffe du kannst die Skizze Selber anfertigen und durchsteigen.
Als Skizze zeichnest du bitte einen Kreis mit einbeschriebenem Rechteck.
Verbinde eine Ecke mit dem Kreismittelpunkt. Diese Strecke hat Länge R.
Die halbe Höhe und der Radius des Zylinders bilden mit dieser Strecke ein rechtwinkeliges Dreieck.
Es gilt also:
r² +(0,5h)² = R² => r² = R² - 0,25h²
V(Zylinder) = Pi*r²*h => Zielfunktion
V(h) = Pi*(R²-0,25h²)*h = Pi*R²*h-0,25*Pi*h³
V'(h)= Pi*R²-0,75*Pi*h²
V'(h)=0 <=> h²=(4/3)R²
Das Überprüfen mit der zweiten Ableitung bzw Randbetrachtung überlasse ich dir.
V(max)= V((4/3)^0,5*R)= (4/9)*(3)^0,5*Pi*R³
V(max)/V(Kugel)= 1/wurzel(3)
Hoffentlich habe ich mich nicht verrechnet! |
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