| Autor |
Beitrag |
    
blueverena
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Mai, 2001 - 18:19: | 
|
HI! Brauche dringend eure Hilfe.
Die Varianz der Poisson Verteilung kann man nach dem Verschiebungssatz ableiten.
Aber was ist ein Verschiebungssatz???????
Ich hoffe, ihr könnt die Frage so schnell wie möglich beantworten. Danke schon mal!!! |
Andra
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. Mai, 2001 - 06:15: |
|
Hi blueverena,
in der Literatur ist der Verschiebungssatz nur in Anwendung bei Fourrier- und Laplace-Transformationen zu finden. Bist Du sicher, daß er auch für die Varianz der Poisson-Verteilung benutzt werden kann?
Schulstoff????? |
blueverena
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. Mai, 2001 - 19:20: |
|
Aber was ist dann der Verschiebungssatz? Der gehört leider nicht zum Schulstoff, aber zum Spezialgebiet. Bitte definieren!!! Danke!!!!!! |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. Mai, 2001 - 07:54: |
|
Hi blueverena,
Der Satz, nach dem Du so intensiv
und leider erfolglos gesucht hast,
ist der Verschiebungssatz von Steiner.
Er dient zur vereinfachten Ermittlung der
Varianz
Var(X) einer Zufallsgrösse X.
In vereinfachter Form lautet der Satz:
mit E(X) als Erwartungswert von X:
Var(X) = E (X^2) - [E(x)] ^ 2.
Ich zeige Dir den Gebrauch dieses Satzes an
vier Beispielen:
1.
X sei die Augenzahl beim Würfeln mit einem
gewöhnlichen Würfel,
Zu den Ausfällen X = 1,2,3,4,5.6 gehören je
die Wahrscheinlichkeien 1/6,
dieselben Wahrscheilichkeiten gehören zu den
Ausfällen X^2 =1,4,9,16.25.36.
Wir berechnen:
E(X ) = 1/6*(1+2+3+........+6) = 7 / 2 = 3,5
E(X^2) = 1/6*(1+4+9+....+ 36) = 91 /6 = 15,16.
Mit der Steinerschen Formel erhalten wir für die Varianz:
Var(X) = 91 / 6 - [ 7 / 2 ]^2 = 35/12 = 2,916..
Dasselbe Resultat für Var(X) gewinnt man durch die
umständlichere Rechnung
Var(X) = 1/6*[ (3,5 - 1)^2 +(3,5 - 2)^2 +...+(3.5 - 6)^2 ]
Fortsetzung folgt
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath.
. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. Mai, 2001 - 10:20: |
|
Hi blueverena,
Es folgt ein weiteres Beispiel zum Verschiebungssatz von Steiner
2.
Beim amerikanischen Würfelspiel "chuck-a-luck"
ergibt sich für den Gewinn X die folgende Verteilung
( eine Herleitung ist in diesem Zusammenhang nicht erforderlich )
X = - 1 Wahrscheinlichkeit p = 125 /216
X = 1 , p = 75 / 216
X = 2 , p = 15 / 216
X = 3 , p = 1 / 216
Erwartungswerte E(X) und E(X^2)
E(X) = 1 / 216 * [ - 1*125 +1*75 +2*15 +3*1] = - 17 / 216
E(X^2) = 1 / 216 * [ 1*125 + 1*75 + 4 * 15 + 9 * 1 ] = 269 / 216
Berechnung der Varianz Var(X) mit dem Steinerschen Satz:
Var(X) = E(X^2) - [E(x)]^2 = 269/216 - [17/216]^2 =
1/216^2 * {269*216 - 17^2) } = 57815 / 46656 ~1,24.
Dasselbe Resultat gewinnt man umständlicher mit der
direkten Methode ,welche die Definition der Varianz benützt.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. Mai, 2001 - 10:34: |
|
Hi blueverena,
Um die Wirksamkeit des Steinerschen Verschiebungssatzes
zu zeigen, wähle ich ein Beispiel einer stetig verteilten
Zufallsgrösse x.
Das Beispiel ist für das Verständnis etwas anspruchsvoll.
Lass Dich daher bei der Lektüre nicht entmutigen !
3.
Gesucht wird die Varianz Var (X) einer im Intervall
a < = x < = b gleichmässig verteilten Zufallsgrösse
Lösung
Wir berechne die Erwartungswerte E(X) und E(X^2)
als Integrale:
E(X) = int [ x / ( b - a ) * dx], untere Grenze a, obere Grenze b
Resultat: E(X) = ½ (a+b)
E(X^2) = int [x^2 /( b - a ) * dx, Grenzen wie vorher.
Resultat E(X^2) = 1/3 * (a^2 + a*b + b^2)
Anwendung des Verschiebungssatzes:
Var(X) = 1/3 * (a^2 + a* b +b^2) - ¼ * (a+b)^2 =
= 1/12 * (b-a)^2.
Wir stellen fest:
Die Varianz hängt nur von der Länge L des Intervalls [a,b] ab.
Sie wächst quadratisch mit dieser Länge.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. Mai, 2001 - 14:33: |
|
Hi blueverena,
(Das Studium der folgenden Zeilen ist fakultativ)
.
In einem vierten und letzten Beispiel, das ganz
und gar nicht mehr elementar ist, wird die Varianz einer
exponential verteilten Zufallsvariablen mit
Hilfe des Verschiebungssatzes ermittelt.
Die Verteilungsfunktion lautet:
f(x) = L*e^ (-L*x). , x > = 0; L steht für lambda.
Für den Erwartungswert E(X) erhält man
E(X) = 1 / L
Wir berechnen nun E(X^2) mit Hilfe eines Integrals:
E(X^2) = int [x^2 *L + e^(- L x) * dx ]
untere Grenze 0, obere Grenze unendlich.
Durch partielles Integrieren erhalten wir das Ergebnis:
E(X^2)= 0 + 2 / L * E(X) = 2 / L^2.
Mit dem Steinerschen Verschiebungssatz kommt:
Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 2 / L^2 - 1 / L^2 = 1 / L^2
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Anmerkung
Für die Poissonverteilung e^( - L) * L ^ x / x! gilt:
E(X) = Var(X) = L
Einsatz des Verschiebungssatzes mit Fragezeichen .
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
blueverena
| | Veröffentlicht am Freitag, den 18. Mai, 2001 - 17:36: |
|
Danke H.R.Moser!
Sie waren mir wirklich sehr hilfsreich.
Bis dann und nochmals danke
blueverena |
|
