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Beitrag |
    
erich
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Mai, 2001 - 18:17: | 
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Hallo hab hier ein Problem
Zeigen sie ,dass (1/cosx , x/cosx-sinx) ein Fundamentalsystem y"-(2y'/sinxcosx)+y=0 ist
Danke
Erich |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Mai, 2001 - 20:12: |
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Hi Erich,
Wir setzen f(x) = 1/cos x ; g(x) = x / cos x - sin x,
und wir zeigen, dass f(x und g(x) zwei linear
unabhängige Lösungen der gegebenen DGL in einem
gewissen Bereich D sind.
Damit ist nachgewiesen, dass die beiden Funktionen
in D ein Fundamentalsystem bilden..
Wir bilden die ersten Ableitungen f1(x) und g1(x) und
die entsprechenden zweiten Ableitungen f2(x),g2(x) von
f(x) und g(x).
Resultate:
f1(x) = sin(x) / [cos x] ^2,
g1(x) = [ cos x + x * sin x - (cos x) ^ 3 ] / [ cos x ] ^ 2
f2(x) = [ 2 - ( cos x ) ^2 ] / [ cos x ] ^3
g2 (x) = [2 x +2 cos x*sin x + sin x * (cos x)^3 - x*(cos x ) ^2] / [cos x]^3
Setz man die Werte von f, f1, f2 einerseits und die Werte g, g1, g2
andrerseits in die DGL ein,
so stellt man mit Befriedigung fest, dass sie jedesmal erfüllt wird;
f und g sind somit Lösungen der DGL.
Wir berechnen die Wronski-Determinante W = f (x)* g1(x) - g(x) * f1 (x)
und erhalten nach zünftiger Vereinfachung
W = 2 * [tan x] ^ 2
W= W(x) ist im Wesentlichen positiv
(Ausnahmen : die Nullstellen von y = tan x)
Dies bedeutet, dass die beiden Lösungen in D (alle x ohne k*Pi)
linear unabhängig sind und somit ein Fundamentalsystem der DGL bilden.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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