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rico
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Mai, 2001 - 15:53: | 
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Gegeben ist die Funktionenschar f_a(x)=x*e^ax , a>0
a)diskutieren sie die funtionenschar f_a
b)bestimmen sie die gleichungen der ortskurven der extrema und wendepunkte von f_a
c)zeichnen sie den graph von f_1/3 sowie die graphen der ortskurven aus b)
d)bestimmen sie die gleichung der wendetangente von f_1/3.
e)Zeigen sie, dass F(x)=3*(x-3)*e^x/3 eine stammfunktion von f_1/3 ist
f)Bestimmen sie den inhalt der von f_1/3und der x-achse im 3. quatranten eingeschlossen, einseitig nicht begrenzten Fläche A.
g)Bestimmen sie den maximalen Inhalt, den ein achsenparalleles Rechteck im 3.quadranten einnehmen kann, wenn eine ecke im ursprung und eine zweite auf f_1/3 liegen soll.
h)Für welchen wert von a berühren sich die graphen von f_a und g(x)=x^3 ?
wer kann mir diese aufgabe lösen (tipps?). vielen dank!! |
Andra
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. Mai, 2001 - 06:08: |
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Hallo Rico,
das ist wirklich ein Hammer.
Zunächst mal sollte man dieses Ding ableiten. Das geht mit der Produktregel:
fa(x) = x * eax
f'a(x) = eax + axeax
f''a(x) = aeax + aeax + a2xeax = 2aeax + a2xeax
Nun kann man die Diskussion in Abhängigkeit von a machen.
Vielleicht hilfts Dir schon mal weiter.
Ciao, Andra |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. Mai, 2001 - 10:53: |
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Hi Rico,
Aus Deinem umfangreichen Angebot wähle ich die
Teilaufgaben b) und h ) aus.
Wir benötigen die Ableitungen :
fa ' (x) = e ^ (a x) + a x e ^ ( a x ) = e^ (a x ) ( 1 + ax )
fa '' (x) = 2 a e ^ ( a x ) + a ^2 x e ^ ( a x ) = a e ^ ( a x ) * [2 + a x ]
b)
Extremalstelle x1:
fa '( x ) = 0 für x = x1 = - 1 / a .. zugehöriger y-Wert y1 (Minimum)
y = y1= fa (x1) = -1 / a * e ^ (-1)
Es liegt ein Minimum vor, weil fa ''(x1) = a * e^(-1) positiv ist
Um die Koordinatengleichung der Ortskurve der Tiefpunkte
zu erhalten, eliminieren wir aus den obigen Gleichungen
für x1 und y1 den Parameter a.
Wir erhalten sofort :
y = y1 = x * e ^ (-1).... (x1 ist durch x ersetzt worden)
Dies ist die Gleichung einer Ursprungsgeraden mit der Steigung 1/e;
Es zählt jedoch wegen der Voraussetzung a > 0 , somit x = -1/a <0,
nur die Halbgerade im dritten Quadrant.
Wendestelle xw:
fa ''(x) = 0 für x = xw = - 2 / a, zugehöriger y-Wert
y = yw = fa (xw) = - 2 / a * e ^( - 2 )
Ortskurve der Wendepunkte:
Elimination von a aus den Gleichungen für xw und yw;
es kommt: y= yw = x * e ^(-2)
Es liegt wiederum die Gleichung einer Ursprungsgeraden vor ,
Steigung 1 / (e^2)
Es zählt auch hier nur die Halbgerade im dritten Quadrant
aus demselben Grund wie vorhin.
h)
Der gesuchte Berührungspunkt habe die Koordinaten xo,yo.
Es gelten die folgenden beiden Gleichungen für den Parameter a
und den x-Wert xo:
(1) xo ^3 = xo* e ^(a xo)
die y-Werte beider Kurven stimmen im Berührungspunkt
überein
(2) 3 xo^2 = e^(a x0) * ( 1 * + a xo)
die Steigungen ( 1.Ableitungen !) im Berührungspunkt
stimmen überein.
xo ist sicherlich von null verschieden (warum ?);
daher kürzen wir xo in (1) weg und setzen xo ^ 2 = e^ (a* xo)
in (2) ein und heben noch e^ (a*xo ) heraus.
Wir erhalten der Reihe nach:
1 + a * xo = 3
xo = 2 / a und mit xo ^ 2 = e ^ 2
xo = e und a = 2 / e als Schlussresultat.
Der Berührungspunkt hat die Koodinaten:
x = xo = e , y = yo = e ^ 3
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Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
rico
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. Mai, 2001 - 11:10: |
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hey, vielen dank an euch! aber leider hab ich jetzt erst die halbe aufgabe!
wer von euch kann denn dieses meisterwerk hier beenden? |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. Mai, 2001 - 15:12: |
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Hi rico,
Teilaufgabe e)
Wir leiten F = F(x) = 3 x * e^(x/3) - 9 * e^(x/3)
mit der Produktregel und Kettenregel nach x ab
Ergebnis:
F'(x) = 3*e^(x/3) + 3 * 1/3 *x * e^(x/3)
- 9* 1/3 * e^(x/3) = x* e (x/3)
Das Resultat stimmt mit fa (x) für a = 1/3 überein,
quod erat demonstrandum.
Teilaufgabe f)
Die gesuchte Fläche U ist das (uneigentliche) Integral
U = int [ x * e^ (x/3) * dx ] , untere Grenze: minus unendlich,
obere Grenze null.
Da wir aus Teilaufgabe e) eine Stammfunktion F(x) kennen,
können wir U sofort ermitteln:
Der Wert der Stammfunktion an der oberen
Grenze 0 sei u1:
u1 = 0 - 9 *e^0 = - 9
Der Wert der Stammfunktion an der unteren
Grenze minus unendlich sei u2
u2 = 0 - 0 (" e hoch minus unendlich verschwindet")
Somit U = u1 - u2 = - 9.
Ueberlege selber,warum U negativ wird ! ?
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. Mai, 2001 - 19:32: |
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Hi Rico,,
Zum krönenden Abschluss löse ich noch
Teilaufgabe g)
Die Fläche des Rechtecks mit den Ecken
OFPG sei R.
O(0/0 ) ist der Nullpunkt O
P(x/y) ist der im dritten Quadrant liegende
allgemeine Punkt der Kurve fa (x) = x * e(x/3)
a = 1/3 , x < 0.
F(x/0) ist die Projektion von P(x/y) auf die x -Achse,
G(0/y) die Projektion von P(x/y) auf die y-Achse
Empfehlung: Skizziere den Sachverhalt !
Die Fläche R des Rechtecks OFPG beträgt:
R = x * y = x * x * e^(x/3) = x^2 * e^(x/3)
Es soll R = R(x) ein Maximum werden.
Wir leiten R(x) nach x ab:
R'(x) = 2 x * e^(x / 3) + 1/3*x^2 * e ^( x / 3)
R'(x) ist null für x = - 6 ,wie man leicht feststellt.
(x = 0 fällt nicht in Betracht)
Die maximale Rechtecksfläche R* = Rmax ist
R* = 36 * e^ (-2) ~ 4,87
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Mit freundlichen Grüssen,
H.R.Moser,megamath. |
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