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Beitrag |
    
Carsten Lindemann (Carlinde)
| | Veröffentlicht am Montag, den 07. Mai, 2001 - 17:00: | 
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Brauche Lösung folgender Aufgabe!
geg.: f(x)=(x^2+2x)*e^-x
a) Ermitteln sie die Ableitungen sowie die Extrem- und Wendepunkte der Funktion.
b) Die Normalen, die in den Schnittpunkten von f mit der x-Achse angelegt werden können, schneiden sich in einem Punkt S. Bestimmen sie durch Rechnung die Koordinaten des Punktes S. |
lnexp
| | Veröffentlicht am Montag, den 07. Mai, 2001 - 22:35: |
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a)
f(x)=(x^2+2x)*e^(-x) Produktregel:
f '(x)=(2x+2)*e^(-x)+(x^2+2x)*(-1)*e^(-x)=(2x+2-x^2-2x)*e^(-x)=(-x^2+2)*e^(-x)
f ''(x)=(-2x)*e^(-x)+(-x^2+2)*(-1)*e^(-x)=(-2x+x^2-2)*e(-x)=(x^2-2x-2)*e^(-x)
f '''(x)=(2x-2)*e^(-x)+(x^2-2x-2)*(-1)*e^(-x)=(-x^2+4x)*e^(-x) |
Lerny
| | Veröffentlicht am Montag, den 07. Mai, 2001 - 22:37: |
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zu a)
f(x)=(x²+2x)*e-x
f'(x)=(2x+2)*e-x-(x²+2x)*e-x
=(2x+2-x²-2x)*e-x
=(2-x²)*e-x
f"(x)=-2x*e-x-(2-x²)*e-x
=(-2x-2+x²)*e-x
=(x²-2x-2)*e-x
f'"(x)=(2x-2)*e-x-(x²-2x-2)*e-x
=(2x-2-x²+2x+2)*e-x
=(-x²+4x)*e-x
Extrema:
f'(x)=0
(2-x²)*e-x=0
2-x²=0
x²=2
x1=+Ö2
x2=-Ö2
Mit 2. Ableitung auf Max. bzw. Min. überprüfen
f"(+Ö2)=(2-2*Ö2-2)*e-Ö2=-2Ö2*e-Ö2<0=>Max
f"(-Ö2)=(2+2*Ö2-2)*eÖ2=2Ö2*eÖ2>0=>Min.
Wendepunkte:
f"(x)=0
(x²-2x-2)*e-x=0
x²-2x-2=0
x1,2=1+-Ö(1+2)=1+-Ö3
x1=2,732
x2=-0,732
f'"(2,732)=18,39*e-2,732<>0; also Wendepunkt
entsprechend für x2 überprüfen
zu b)
Schnittpunkte mit der x-Achse = Nullstellen
f(x)=(x²+2x)*e-x=0
x²+2x=0
x(x+2)=0
x1=0 => N1(0/0)
x2=-2 => N2(-2/0)
Steigungen in diesen Punkten
f'(x)=(2-x²)*e-x
f'(0)=2*1=2
f'(-2)=(2-4)*e2=-2e²
Normalensteigungen: n1=-1/2 und n2=1/(2e²)
n1: y=-1/2x
n2: 0=-2*1/(2e²)+b => 0=1/e²+b => b=-1/e² => y=-2e²*x-1/e²
Schnittpunkt der Normalen:
-1/2x=-2e²x-1/e²
-1/2x+2e²x=-1/e²
(-1/2+2e²)x=-1/e²
x=-2/(4e²-1)e²
y=-1/2*(-2)/(4e²-1)e²=1/(4e²-1)e²
sind die Koordinaten von S.
Hoffentlich habe ich mich nicht verrechnet. rechne bitte alles nach.
mfg Lerny |
Carsten Lindemann (Carlinde)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Mai, 2001 - 14:46: |
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DANKE!! :-) |
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