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Beitrag |
    
wiesel
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 06. Mai, 2001 - 14:58: | 
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Diskutieren Sie die schar f(index a) (x)=e^x*(e^x-a), a>0.
Skizzieren Sie die Graphen von f(index 2) und f(index 4)
ähhh? kein plan??
bitte um lösung! |
lnexp
| | Veröffentlicht am Montag, den 07. Mai, 2001 - 04:19: |
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f_a(x)=e^x*(e^x-a)=e^(2x)-a*e^x ; a>0
f_a'(x)=2*e^(2x)-a*e^x=e^x*(2*e^x-a)
f_a''(x)=4*e^(2x)-a*e^x=e^x*(4*e^x-a)
f_a'''(x)=8*e^(2x)-a*e^x=e^x*(8*e^x-a)
Symmetrie: keine erkennbar (später sieht man dann:keine)
Nullstellen: f_a(x)=0
e^x*(e^x-a)=0 ; da e^x>0 gilt, muss
e^x-a = 0 gelten
e^x= a | ln(...) (, da a>0 möglich)
x=ln(a)
N( ln(a) | 0 )
Extrema: f_a'(x)=0
weil wieder e^x>0 muss gelten
2*e^x-a=0
2*e^x=0
e^x=a/2
x=ln(a/2)
f_a''(ln(a/2))=e^(ln(a/2))*(4*e^(ln(a/2))-a)=(a/2)*(4*a/2-a)=(a/2)*(2*a-a)=(a/2)*a>0 , also Tiefpunkt:
f_a(ln(a/2))=e^(ln(a/2))*(e^(ln(a/2))-a)=(a/2)*(a/2-a)=-a^2/4
T( ln(a/2) | -a^2/4 )
Wendepunkt(e):
f_a''(x)=0
x=ln(a/4)
f_a'''(ln(a/4))=(a/4)*(8*a/4-a)¹0, also Wendepunkt:
f_a(ln(a/4))=(a/4)*(a/4-a)=(a/4)*(-3a/4)=-3a^2/16
W( ln(a/4) | -3a^2/16 )
Asymptoten:
x--->¥: f_a(x)=e^x*(e^x-a)--->¥, da e^x--->¥
x--->-¥: f_a(x)=e^x*(e^x-a)--->0, da e^x--->0 : y=0 ist waagrechte Asymptote (negative x-Achse)
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