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acamar
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. Mai, 2001 - 13:28: | 
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kann mir vielleicht jemand bei diesen aufgaben behilflich sein?
vielen dank. |
Frank
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 06. Mai, 2001 - 20:10: |
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kannst Du nochmal etwas größer machen? Kann die Funktion f nicht lesen.
Aber ist eine Kurvendiskussion, d.h. erstmal die Funktion f selbst und auch ihre Abeleitungen gleich Null setzen. |
acamar
| | Veröffentlicht am Montag, den 07. Mai, 2001 - 08:00: |
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hier nochmal größer.
besten dank |
lnexp
| | Veröffentlicht am Montag, den 07. Mai, 2001 - 08:48: |
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f(x)=x^x=e^(x*ln(x)); x>0
a)
f '(x)=(1*ln(x)+x*1/x)*e^(x*ln(x))=(ln(x)+1)*x^x
b)
f '(x)=0 ist notw. Bedg.:
da x^x=e^(x*ln(x))>0, nuss ln(x)+1=0 gelten:
ln(x)=-1 | e^(...)
x=e^(-1)=1/e=ca 0,3679
f(1/e)=e^(1/e*ln(1/e))=e^(-1/e)=ca 0,6922
c)
f(x)=e^(x*ln(x):
x>0:
für x--->0 gilt x--->0 und ln(x)--->-¥: es ist unentscheidbar, wohin x*ln(x) geht.
Wir erzeugen mit Gewalt einen Bruch:
x*ln(x)=ln(x)/(1/x)
nun gilt ln(x)--->-¥ und 1/x--->¥
De'l Hospital (Zähler und Nenner getrennt ableiten):
(1/x)/(-1/x^2)=-x--->0 (-0, also "von unten")
also gilt auch x*ln(x)--->0 (-0)
also gilt
f(x)=e^(x*ln(x))--->e^0=1 (von "unten")
d)
Da f '(x)=(ln(x)+1)*x^x und ln(x)+1<0 für x<1/e und ln(x)+1>0 für x>1/e, fällt f(x) im Bereich ]0;1/e[ von 1 nach e^(-1/e)=ca 0,6922 und ist danach streng wachsend mit f(x)--->¥.
f ''(x)=(1/x)*x^x + (ln(x)+1)*(ln(x)+1)*x^x=(1/x+(ln(x)+1)^2)*x^x>0: f beschreibt also eine Linkskurve und hat damit keinen Wendepunkt:
e)
Damit ist alles schon gezeigt ( f fällt von 1 auf e^(-1/e) und steigt danach streng , f(x)--->¥ ) |
acamar
| | Veröffentlicht am Montag, den 07. Mai, 2001 - 13:42: |
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vielen dank inexp.
kannst du evtl. auch bei den beiden anderen aufgaben helfen? ich wäre dir sehr dankbar.
bye |
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