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Lisa
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Mai, 2001 - 13:37: | 
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Ich brauche dringend Hilfe!!Hier meine Aufgabe:fk(x)=(khoch2+1)*cos(k*Pi/2);k>0
1)Fläche zwischen x-Achse und Kurve in Abhängigkeit von k?
2)Für welchen Wert von k ist die Fläche minimal?absolutes oder relatives Minimum?
3)Unter welcher Voraussetzung schneiden sich die Schaubilder auf der x-Achse?
k1,k2 k1 ungleich k2
Ich wäre schon für eine Teilaufgabe sehr dankbar.Bye |
lnexp
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Mai, 2001 - 15:01: |
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Hallo Lisa
1)Die Funktion heisst wohl fk(x)=(k^2+1)*cos((k*Pi/2)*x) (Du hast das x vergessen)
Da der cos achsensymmetrisch und periodisch ist, ist fk auch achsensymmetrisch und periodisch (Periode 2*Pi/(k*Pi/2)=4*Pi/(k*Pi)=4/k)
Die gesuchte Fläche ist vermutlich die Fläche zwischen den betragsmässig kleinsten Nullstellen.
Diese sind (auf Grund der Periodenlänge 4/k) bei x1=-1/k und x2=1/k.
Oder "berechnen": fk(x)=0
cos((k*Pi/2)*x)=0
Die Nullstellen des cosinus enstehen, wenn das Argument z=(k*Pi/2)*x ungeradzahlige Vielfache von Pi/2 annehmen:
(k*Pi/2)*x=(2t+1)*Pi/2
x=(2t+1)/k
Die betragsmässig kleinsten enstehen für t=-1 : x1=-1/k und t=0 : x2=1/k
A(k)=Integral von -1/k bis 1/k ( (k^2+1)*cos((k*Pi/2)*x) ) dx = [ 2*(k^2+1)/(k*Pi)*sin((k*Pi/2)*x) ] von -1/k bis 1/k
=2*[ 2*(k^2+1)/(k*Pi)*sin((k*Pi/2)*x) ] von 0 bis 1/k ... (wegen Symmetrie zur y-Achse)
=2*2*(k^2+1)/(k*Pi)*sin(Pi/2) ( mit sin(Pi/2)=1 )
=(4k^2+4)/(k*Pi) (...hier kann man (1/Pi) nach vorne holen und dann einzeln durch k teilen ! Das erleichtert das Ableiten für 2))
A(k)=(1/Pi)*(4k+4/k)
2)Extremwertaufgabe für k>0:
Ableitungen:
A(k)=(1/Pi)*(4k+4/k)=(1/Pi)*(4k+4k^(-1))
A'(k)=(1/Pi)*(4-4k^(-2))=(1/Pi)*(4-4/k^2)
A''(k)=(1/Pi)*(8*k^(-3))=(8/Pi)*1/k^3
A'(k)=0 liefert
4-4/k^2=0
4/k^2=4
k^2=1
k=1 (oder k=-1: nicht im Bereich k>0)
A''(k)=8/Pi>0 also liegt ein relatives Minimum vor.
Randwerte:
Da für k--->0 gilt A(k)=(1/Pi)*(4k+4/k)--->oo (unendlich) und
für k--->oo gilt A(k)--->oo, ist das relative Minimum sogar ein absolutes.
[Man kann statt mit den Randwerten auch argumentieren, dass k=1 das einzige im Bereich k>0 gefundene Extremum war; wegen der Stetigkeit von A' ist daher A im Bereich 0<k<1 streng fallend, im Bereich k>1 streng wachsend, also ist für k=1 der Wert A(1)=(1/Pi)*(4+4)=8/Pi das absolute Minimum] |
lnexp
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Mai, 2001 - 15:16: |
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3) Die Nullstellen von fk1 sind bei
x1=(2t+1)/k1 mit t in Z beliebig
x2=(2s+1)/k2 mit s in Z sind die Nullstellen von fk2.
x1=x2 liefert
(2t+1)/k1=(2s+1)/k2
k1=(2t+1)/(2s+1)*k2
Mit Worten: wenn k1 ein "ungerades Bruchvielfaches von k2" ist
Z.B. k1=6 und k2=30/7 : k1=7/5*k2
Gemeinsame Nullstelle ist x=7/6=5/(30/7)) |
Lisa
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Mai, 2001 - 20:31: |
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Hallo Inexp,
vielen vielen Dank, du bist ein SchatZ!!!! |
lnexp
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Mai, 2001 - 23:32: |
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(fühlt sich jetzt aber geschmeichelt !) |
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