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Bianca
| | Veröffentlicht am Samstag, den 04. Dezember, 1999 - 18:20: | 
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Hallo Leute wer kennt sich damit aus? Im Vektorraum P der Polynome sei p1: x->1-x u.
p2: x->1+x² lassen sich die Polynome
q1: x-> -1+3x+2x² als Linearkombination von {p1,p2} darstellen?
Im Vektorraum R³ seien a1=(2,0,0) a2=(3,1,0) a3=(5,3,1) und e1=(1,0,0) e2=(0,1,0) e3=(0,0,1) geg.
stellen sie ai als Linearkombination von W1={e1,e2,e3} dar. Das gleiche wird auch für w2 umgekehrt gefragt aber mir ist mit w1 sicher schon geholfen. Bitte wenn es geht in kleinen Schritten erklären ich raff das sonst nicht. Vielen Dank schon mal, Bianca |
Ingo
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Dezember, 1999 - 12:19: |
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q1=2p2-3p1
Klappt hier recht schnell,da p1 und p2 unterschiedlichen Grad haben.
Den zweiten Teil mache ich mal allgemeiner. Sei a=(x,y,z).Gesucht ist eine Darstellung als Linearkombination von W1.Bei der "kanonischen" Basis (so heißt W1 im allgemeinen Sprachgebrauch) brauchst man da gar nicht weiter überlegen und kommt durch "scharfes" Hinsehen auf die Lösung a=xe1+ye2+ze3
z.B. ist (2,4,6)=(2,0,0)+(0,4,0)+(0,0,6)=2*(1,0,0)+4*(0,1,0)+6*(0,0,1)
Schwieriger ist die andere Richtung wo Du das Gleichungssystem e1=ra1+sa2+ta3 lösen mußt. |
Bianca
| | Veröffentlicht am Montag, den 06. Dezember, 1999 - 16:55: |
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Hallo Ingo! Ich konnte die erste Aufgabe zwar nachvollziehen habe aber Schwierigkeiten sie auf die nachfolgenden Aufgaben zu übertragen. Vielleicht deshalb weil es hier keine Linearkombination gibt?? Oder ich mach irgerndwas zu kompliziert. Die zweite Aufgabe aus dieser Reihe ist q2: x-> 5+x²
Vielleicht kannst Du mir ja nochmal die Schritte angeben.
Vielen Dank jedenfalls Bianca |
Zaph
| | Veröffentlicht am Montag, den 06. Dezember, 1999 - 21:17: |
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Du kannst die Aufgabe ganz einfach in eine Aufgabe mit Vektoren übertragen, wenn du lieber mit Vektoren rechnest. Dazu musst du einem Polynom ax² + bx + c zweiten Grades nur in den Vektor (a,b,c) "übersetzen". Wenn du es mit Polynomen höheren Grades z.B. dritten Grades zu tun hast, werden die Vektoren entsprechend länger. Z.B. ax³ + bx² + cx + d -> (a,b,c,d).
Nun zu deiner Aufgabe:
p1 = 1 - x = (0,-1,1), p2 = 1 + x² = (1,0,1), q1 = -1 + 3x + 2x² = (2,3,-1).
Nun sind r und s gesucht mit r(0,-1,1) + s(1,0,1) = (2,3,-1). Es folgt r = -3, s = 2. Also q1 = -3 * p1 + 2 * p2.
Nun q2 = 5 + x² = (1,0,5).
Löse r(0,-1,1) + s(1,0,1) = (1,0,5). Dies liefert die Gleichungen
1) 0 * r + 1 * s = 1
2) -1 * r + 0 * s = 0
3) 1 * r + 1 * s = 5
Es folgt
1') s = 1
2') r = 0
3' 1 * 0 + 1*1 = 5 ERROR!!
Also gibt es hier keine Lösung. |
Bianca
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. Dezember, 1999 - 12:27: |
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Hallo Zaph, hallo Ingo!
Ich bin mit den übrigen Polynomen ganz gut fertig geworden und habe inzwischen auch W2 gefunden. Nun werde ich in den weiteren Aufgaben gefragt ob sich jeder Vektor v=(v1,v2,v3) als Linearkombination darstellen läßt und ob W1 und W2 ein Erzeugendensysthem von R³ ist. Ich würde beide Fragen mit ja beantworten(rein intuitiv).
Habt ihr vielleicht eine etwas bessere Erklärung?
Gruß und Danke nochmals Bianca |
Ingo
| | Veröffentlicht am Montag, den 13. Dezember, 1999 - 01:27: |
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Die Intuition ist richtig,aber man kann es natürlich auch beweisen :
Die einfachste Begründung wäre die Lineare Unabhängigkeit von {a1,a2,a3}.Sie erzeugen also einen 3-Dimensionalen Vektorraum und das muß bereits der gesamte IR3 sein,da es keine anderen 3-dimensionalen Teilräume in IR3 gibt.
Etwas ausführlichere wäre folgende Idee :
Nimm Dir einen beliebigen Vektor (x,y,z)€IR3 und versuche ihn durch die gegebenen Vektoren darzustellen.Wenn das gelingt ist jeder Vektor darstellbar als Linearkombination von W1 bzw. W2 und somit ist es ein EZS des IR3.
Den ersten Fall hatte ich bereits in meinem ersten Beitrag behandelt,beim zweiten mußt Du ein GLS lösen :
(x,y,z)=r*(2,0,0)+s*(3,1,0)+t*(5,3,1)
=>
x=2r+3s+5t
y=s+3t
z=t
=> t=z , s=y-3z , r=(x-3(y-3z)-5z)/2=(x-3y+4z)/2
Also ist das System immer lösbar und es liegt ein EZS des IR3 vor.
(Mehr noch : Es ist sogar eine Basis des IR3) |
Bianca
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. Dezember, 1999 - 17:48: |
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Hallo Ingo! Da bin ich schon wieder mit meinen Vektoren. Ich soll zeigen, das die Vektoren a1=(1,2,5,3) a2=(2,1,4,9) a3=(5,-1,2,-1) und a4=(3,-7,-8,-11) linear unabhängig sin. Ich habe sie nun in einem Gleichungssysthem dargestellt komme aber dennoch nicht auf eine vernünftige Lösung. Vielleicht kannst Du mir nochmal helfen.
Eine andere Aufgabe macht mir ebenfalls Schwierigkeiten. Beweisen sie Eine Abbildg. f eines Vektorraumes V in einem Vektorraum W ist genau dann linear, wenn für alle v1, v2 element von V und für alle r,s Element R gilt:
(L) f(rv+sv) =rf(v1)+sf(v2) |
Ingo
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 16. Dezember, 1999 - 00:04: |
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Beim ersten mußt Du das Gleichungssytem r(1;2;5;3)+s(2;1;4;9)+t(5;-1;2;-1)+u(3;-7;-8;-11)=(0;0;0;0) lösen. Ist dies nur mit r=s=t=u=0 möglich,sind die Vektoren linear unabhängig.Die Koeffizienten sind zugegeben etwas ungünstig,aber das Verfahren ist immer dasselbe : Schreibe das GLS als Matrix
01 02 05 03
02 01 -1 -7
05 04 02 -8
03 09 -1 -11
und führe solange Zeilenumformungen durch(=addieren einer Gleichung zum Vielfachen einer anderen) bis Du eine obere Treppenmatrix erhältst.
a***
0b**
00c*
000d
Sind alle Einträge in der Diagonalen ungleich 0 ist das GLS eindeutig lösbar und die Vektoren linear unabhängig,andernfalls sind sie es nicht.
Zum zweiten :
Wie habt Ihr linear definiert ? Normalerweise so :
(A) f(v)+f(w)=f(v+w) für alle v,w€V
(B) rf(v)=f(rv) für alle r€R,v€V
Diese Eigenschaften folgen unmittelbar aus (L) :
(A) setze r=s=1 in (L) ein
(B) setze s=0 in (L) ein
Die Rückrichtung ist auch nicht schwieriger : (A)+(B) => (L)
f(rv+sw)=f(rv)+f(sw) [nach (A)]
= rf(v)+sf(w) [nach (B)] |
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