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Cosmo
| | Veröffentlicht am Samstag, den 04. Dezember, 1999 - 15:13: | 
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Mathe LK 13
Brauche Hilfe zu Herleitung der allgm. Hyperbelgleichung.
Gibt es z.B. einen Unterschied zwischen den Gleichungen einer Hyperbel die nach rechts und links geöffnet ist und zu einer die nach oben und unten geöffnet ist?
Gleichung der nach rechts/links geöffneten Hyperbel: x^2/a^2 - y^2/b^2 =1
a ist hier der Schnittpunkt mit der x-Achse!
x und y die Koordinaten eines Punktes.
Nach meiner Meinung lautet nämlich die Gleichung einer nach oben/unten geöffneten Gleichung:
y^2/b^2 - x^2/a^2 =1
Bitte um'nen Lösungsvorschlag!
Cosmo |
habac
| | Veröffentlicht am Samstag, den 04. Dezember, 1999 - 15:21: |
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Hi Cosmo
Wenn 2a der Betrag der Differenz der Abstände zu den Brennpunkten (die bei der noch oben/unten geöffneten Hyperbel auf der y-Achse liegen) ist, so lautet die Gleichung dieser Hyperbel
y2/a2 - x2/b2 = 1
Diese Hyperbel erhälst Du durch Spiegelung der nach rechts/links geöffneten Hyperbel an der 1. Winkelhalbierenden y=x, wodurch in der Gleichung x und y die Plätze tauschen. |
Cosmo
| | Veröffentlicht am Samstag, den 04. Dezember, 1999 - 15:49: |
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Schon klar soweit...
Die Schnittp. der nach rechts/links geöffneten H.
lauten A1 (0/-a); A2 (0/a).Brennp. dementsprechend B1 (-c/0; B2 (c/0)
Mein Ansatz war nun das sich die Schnittp. bei einer nach oben/unten geöffneten H. bei A1 (0/-b) A2 (0/b) befinden, Brennp B1 (0/-c); B2 (0/c).
Daraus ergibt sich: |B1A2|-|A2B2| = 2b !!!!!!!
Liegt dar vieleicht der entscheidende Denkfehler?
Wahrscheinlich sollte ich auch hier die Schnittp. mit a und -a bezeichnen,weil es doch feste Werte sind,oder? |
habac
| | Veröffentlicht am Samstag, den 04. Dezember, 1999 - 16:01: |
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Für mich sind die Differenz 2a und der Abstand der Brennpunkte 2c zwei Grössen, die die Hyperbel definieren. Deshalb würde ich sie unabhängig von der Lage der Hyperbel benennen, was dann meine Gleichung zur Folge hat. Aufpassen musst Du dann bei den Steigungen der Asymptoten: Wegen der Spiegelung an y=x sind sie nachher ±a/b und nicht mehr ±b/a! |
Cosmo
| | Veröffentlicht am Samstag, den 04. Dezember, 1999 - 16:06: |
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Alles klar, wenn man das mit den Asymtoten mal durchrechnet,kommt man genau auf drauf.
Bin jetzt optimal vorbereitet,hoffentlich.Monat ist Klausurtime......vielleicht komm ich morgen nochmal mit'nen paar Fragen.Danke und schöenen Abend noch |
Cosmo
| | Veröffentlicht am Samstag, den 04. Dezember, 1999 - 16:07: |
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ups verschrieben.ich meine Montag ist Klausurtime |
Zaph
| | Veröffentlicht am Samstag, den 04. Dezember, 1999 - 23:27: |
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Man muss zwischen "Brennpunkt" und "Scheitelpunkt" unterscheiden.
Die Scheitelpunkte sind die Punkte der beiden Äste der Hyperbel mit geringstem Abstand.
Die Brennpunkte B1, B2 der Hyperbel sind diejenigen Punkte für die gilt:
Ist P ein Punkt auf der Hyperbel, so ist die Differenz vom Abstand(P,B1) und dem Abstand(P,B2) konstant.
Eine Hyperbel x²/a² - y²/b² = 1 ist nach links und rechts geöffnet.
Sie hat hat die Scheitelpunkte (Schnittpunkte mit der x-Achse) (a,0) und (-a,0).
Die Brennpunkte sind (Wurzel(a²+b²),0) und (-Wurzel(a²+b²),0).
Die Asymptoten sind die Geraden x/a - y/b = 0 und x/a + y/b = 0 (die Geraden durch die Punkte (0,0) und (a,b) bzw. (a,-b).
Die konstante Differenz ist 2a.
Eine Hyperbel -x²/a² + y²/b² = 1 ist nach oben und unten geöffnet.
Sie hat hat die Scheitelpunkte (Schnittpunkte mit der y-Achse) (0,b) und (0,-b).
Die Brennpunkte sind (0,Wurzel(a²+b²)) und (0,-Wurzel(a²+b²)).
Die Asymptoten sind die Geraden x/a - y/b = 0 und x/a + y/b = 0 (die Geraden durch die Punkte (0,0) und (a,b) bzw. (a,-b).
Die konstante Differenz ist 2b. |
Cosmo
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Dezember, 1999 - 15:21: |
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Hmmmmmmm! Ihr beiden widersprechd euch doch irgendwie.Mein Ansatz war genau der von Zaph,ich denke ich werde den als richtig ansehen,oder weiß einer jetzt den genauen Lösungsansatz?
Die Bedingung:die konstant Diff. ist nämlich hier der Knackpunkt 2b ergibt y²/b²-x²/a²=1 und 2a die Gleichung: y²/a²-x²/b²=1 hmmmmmmmmm??????? |
Zaph
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Dezember, 1999 - 15:54: |
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Wo ist das Problem? Die Auswahl der Buchstaben bei der Bezeichnung der konstanten Differenz? Namen sind doch nur Schall und Rauch. Z.B. hat eine Hyperbel mit der Gleichung y²/ü² - x²/ä² = 1 die konstante Differenz 2ü. Die Angabe der konstanten Differenz ist aber noch nicht ausreichend, die Hyperbel zu bestimmen. Bei einer nach oben/unten geöffneten Hyperbel ist hieraus erstmal nur das ü, nicht aber das ä zu ermitteln. |
Cosmo
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Dezember, 1999 - 16:44: |
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JUNGS IHR SEID SPITZE!
Bin schon völlig vernebelt von diesen ganzen a'a und b's und c's dass ich die kleinsten dinge nicht mehr erkenne.Danke das Problem ist jetzt wohl endgültig gelöst! |
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