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maddes (Maddes)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. Mai, 2001 - 18:08: | 
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Hilfe hilfe hilfe...
kann mir vielleicht jemand den Weg verraten, den man gehen muss, um das folgende Integral zu berechnen..
Integral (ln (x + 1) / x )) Die Fläche die berechnet werden soll ist eingegrenzt von 1 bis 2. Ich wäre um eine komplette Lösung mit Weg dankbar.. Werde jetzt erst mal abschalten, und heute abend schauen, ob jemand eine Lösung mir bieten kann!
DANKE
Ich hab eben mal mit partieller versucht, bin aber irgendwie nicht wirklich weitergekommen =(
see yall
.maddes. |
Petra (Petra)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. Mai, 2001 - 20:42: |
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Hallo maddes,
wenn du die Klammern bei deiner Funktion richtig gesetzt hast, dann kannst du den Bruch auftrennen und schreiben: ln(x+1)-ln x
Um das zu integrieren benützt du die Formel aus der Formelsammlung: x*ln x - x
Dann heißt das also:
F(x)=[(x+1)*ln(x+1)-(x+1)]/1 - x*ln x - x
=(x+1)*ln(x+1)-x-1-x*ln x - x
=(x+1)*ln(x+1)-x*ln x-2x-1
Die Grenzen eingesetzt wäre das dann:
A=2*ln 2-1*ln 1-2-1 - (3*ln 3-2*ln 2-4-1)
=2*ln 2-0-3 -3*ln 3+2*ln 2+5
=4*ln 2-3*ln 3+2
=1,477...
Petra |
maddes (Maddes)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. Mai, 2001 - 22:07: |
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HILFE... nee, so war der Bruch leider nicht.. Das auseinanderziehen klappt hierbei nicht, da das ln nur auf den Zähler angewendet wird, nicht aber auf den Nenner.. hier nochmal ein scan von der Funktion!
-maddes
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maddes (Maddes)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. Mai, 2001 - 23:09: |
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mh, irgendwie passt das vorne und hinten nicht.. partiell integrieren geht nicht.. ich kann weder u(x) = ln (x+1) noch 1/x = u(x) schreiben. Aus dem Rest kürzt sich nix raus (zumindest bei mir nichts). Der Trick 1 * (ln (x+1)*x^-1) geht auch nicht, da ich ja das 1/x nicht im Argument des ln basteln kann..
des weiteren funktioniert Substitution auch nicht.. Da wenn ich u(x) = ln (x+1) substituiere steht "draußen" nicht die Ableitung von ln (x+1) stehen habe.. Sprich (1/x+1)... Mh, ich komme wirklich so langsam ins rätseln.. *seufz* Endlich mal eine aufgabe, die ich nicht mehr rechnen kann (zumindest mit meinen Mitteln). Aber was soll ich nun tun, wenn diese Aufgabe dran kommt? Ich vermute nicht. Habe mich jetzt gerade einmal schlau gemacht, über nicht lösbare Integrale, und da stoße ich auf numerische Integration.. Noch nie gehört diesen Begriff... Hier steht etwas von Trapezregel.. Auch noch nicht gemacht. Also ich möchte eigentlich dann nur wissen, ob es möglich ist das Baby hier mit den Mitteln der partiellen Integration oder Substitution zu lösen? Wenn nicht, dann interessiert mich der andere Weg, den man gehen muss... Am aller besten wäre das dann morgen früh. Hab mich mit meiner Klausur in der ganzen Aufregung vertan, die ist nämlich erst am Freitag...
so then, ich leg mich jetzt hin!
-maddes |
Jenny
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Mai, 2001 - 15:39: |
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Hi maddes,
Zum Klammernschreiben (siehe Deinen ersten Beitrag):
Wenn 2 Klammern aufgehen, können auch nur 2 zugehen!
Die Klammern außen rum sind überflüssig! |
maddes (Maddes)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Mai, 2001 - 17:38: |
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mh, vielleicht.. ich habe es der Deutlichkeit halber gemacht (und wohl eine vergessen), und dein Beitrag hilft mir leider nicht weiter um auf die Lösung zu kommen...
:-(
-maddes |
joey
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Mai, 2001 - 22:28: |
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numerische intergration (z.b. mit hilfe der trapezregel) ist ein näherungsverfahren. damit kann man numerisch den wert eines beliebigen integrals beliebig genau berechnen. die idee der trapezregel ist ähnlich der methode zur "normalen" unter- bzw- obersummenberechnung. man füllt die funktion hier mit trapezen aus und addiert diese werte (siehe formelsammlung). bleibt die frage ob das hier gemeint ist. eine andere möglichkeit sehe ich hier jedoch auch nicht. |
Xell
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. Mai, 2001 - 01:08: |
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Hi maddes!
Ich hab dir das Ganze mal numerisch berechnet.
Es ergibt sich für ò1 2 ln(x-1)/x dx » 0,6143
Dieser Wert dürfte recht genau sein, er wurde mit 1 Million Stützstellen angenähert.
Die Bogenlänge ist übrigens: B1²(f(x))» 1,0106
Löst das dein Problem oder möchtest du eine analytische Lösung?
mfG, Xell :-)
P.S.: Das Proggi, mit dem ich die Werte berechnet hab, hab ich selbst geschrieben. Sind hoffentlich keine Bugs drinnen... ;-) |
Xell
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. Mai, 2001 - 01:12: |
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correctio: Es muss oben natürlich ln(x+1)/x im Integral heißen. Ist nur ein Schreibfehler, die Werte sind die passenden zu dem verlangten Term |
J
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. Mai, 2001 - 08:00: |
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Ist doch ganz einfach:
substituiere ln(x)=z,
dann ist dz/dx = 1/x, also dx= x*dz
damit wird aus ò (ln(x)/x)dx das Integral ò x*z/x dz
Das x lässt sich rauskürzen, und es bleibt ò z dz
Das lässt sich leicht integrieren. Ergebnis: z²/2 +C
Rücksubstitution führt zu (ln(x))²/2 + C
Gruß J |
joey
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. Mai, 2001 - 14:21: |
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und was ist mit der +1 in dem ln??? ganz doof sind wir hier doch auch nicht. |
maddes (Maddes)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. Mai, 2001 - 19:42: |
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uhm, joey hat recht.. also Maple spuckt folgendes aus, und auch in den Uniformelsammlungen steht dieses Integral nicht berechnet!!!
Maple sagt da F(x)= -dilog(x+1) , wobei dilog Dilogarithmus-Funktion, die definiert ist als: dilog(x) = int[1 - x] von ( ln(s)/(1-s) )
jetzt fragt mich bitte nicht, was des ist =(
-maddes |
holger
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. Mai, 2001 - 21:49: |
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Vielleicht täusche ich mich, aber ich habe da eine Idee:
Im Rohbau:
ln(x+1)/x = ln(x+1)*(1+1/x)/(x*(1+1/x)) =
ln(x+1)/(x+1) + ln(x+1)/(x^2+x) =
ln(x+1)*(1/(x+1)) + (1/x)*((ln(x+1)/(x + 1))
1/(x+1) ist aber die Ableitung von ln(x+1)
also steht da: Ö f(x)*f'(x) und das ist =
(1/2)*[f(x)]^2 oder?
also Ö ln(x+1)*(1/(x+1)) = (1/2)*ln(x+1)^2
Denn zweiten Term lösen wir dann durch partielle Integration etwas so:
Ö (1/x)*(ln(x+1)/(x+1)=
(-1/x^2)*((ln(x+1)^2)/2) + Ö (1/x)*2*ln(x+1)/(x+1)
=
(-1/x^2)*((ln(x+1)^2/2) + (1/x^2)*((ln(x+1)^2/2)
- Ö (1/x)*(ln(x+1)^2)/(x+1))
Wenn man jetzt das Integral auf beiden Seiten addiert kommit 0 raus. Jetzt weiß ich nicht was ich von diesem Ergebnis halten soll, aber einen Versuch ist es doch Wert, oder?
-holger |
maddes (Maddes)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. Mai, 2001 - 21:58: |
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Danke erst mal nochmal für die vielen Lösungsversuche!!!! ICh weiß dieses Board zu schätzen!
jo, das ergebnis 0 = 0 hatte ich auch raus.. also ich ende immer in einem Zirkelschluss =( und da steht dann im Endeffekt wieder das Anfangsintegral... es scheint ein richtig fieses Integral zu sein. eine Lösung habe ich nicht, und zum Glück kams auch nicht in meiner Abiklausur vor... Ich denke man kommt nicht um ein Näherungsverfahren herum... *seufz*. naja ich will heute erst mal kein Mathe mehr sehen. Nach der Abiklausur... Es kam genau der falsche Vorschlag zurück =( hammer hart..
gute nacht
-maddes |
Zweifler
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. Mai, 2001 - 04:56: |
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Hy Holger
Das heisst, dass Du im Kreis rum gerechnet hast; passiert aber oft ;-)
Ich kanns auch nicht bisher.
Ein Kommmilllitone von mir hat eine Arbeit darüber geschrieben, welche Funktionen (in "üblicher Schreibweise" hingeschrieben) keine Stammfunktionen haben (in "üblicher Schreibweise"... aber das ist glaube ich ein weites Gebiet).
Ich war aber nicht dabei, aber vielleicht hat diese Funktion nur eine Potenzreihe als Stammfunktion... |
holger
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. Mai, 2001 - 12:10: |
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Also irgendeinen Fehler muss die Rechnung bestimmt haben, das Ergebnis stimmt nämlich nicht mit den numerisch errechneten Werten überein. Aber hat sich vielleicht irgendwer mal mit
Ö f(x)f'(x)*1/xdx beschäftigt? Das kann doch nicht unmöglich zu knacken sein!
-holger |
J
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. Mai, 2001 - 14:09: |
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Hi, hab neulich in der tat nicht richtig hingeschaut (peinlich!)
Es gibt eine Funktion dilog, die definiert ist durch
dilog(x)=ò1 xln(1+t)/t dt
Wenn es für das Integral einen geschlossenen Ausdrück gäbe, hätte man den Namen 'dilog' wohl kaum erfunden, oder? |
Fstrichvonx (Fstrichvonx)
| | Veröffentlicht am Montag, den 07. Mai, 2001 - 09:13: |
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hab ihr es schon mit substitution versucht?
x+1=e^z -> z=ln(x+1)
dz/dx = 1/x -> dx=x*dz
einsetzen
int(z dz)=1/2z^2
z einsetzen 1/2(ln(x+1))^2.
fertig.
Probe passt!
cu |
Fstrichvonx (Fstrichvonx)
| | Veröffentlicht am Montag, den 07. Mai, 2001 - 10:03: |
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zu schnell:
Fehler:
dz/dx=1/(x+1) dx=(x+1)dz |
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