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rico
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. Mai, 2001 - 11:15: | 
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ich hoffe ihr könnte mir hier weiterhelfen; ist nämlich ne monsteraufgabe; einen orden für den der sie löst!
Gegeben sind die Punkte P(-1/0,15), Q(2/1,2), R(5/9,6) und die Funktion f(x)=2*e(hoch -1,2x)
a)Bestimmen Sie eine Exponentialfunktion g(x)= a*e(hoch bx), deren Graph näherungsweise durch die Punkte P, Q und R geht.
b)Bestimmen Sie, für welches k element R gilt: g(x+k)=2*g(x).
c)Diskutieren Sie die Funktionenschar h(index a) (x)=(f(x)-a)^2 (a>0).
d)welcher geraden schmiegt sich der Graph von h(index a) für x --> unendlich an?
[ e)zeichnen Sie den Graph von h(index 2) (a=2) ]
f)Bestimmen Sie den Schnittpunkt von f und g.
g)Bestimmen Sie jeweils eine Stammfunktion von f und g.
h)Bestimmen Sie den Inhalt der von den Graphen von f und g sowie der x-Achse im ersten Quadranten eingeschlossenen, nach rechts unbegrenzten Fläche A. |
lnexp
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Mai, 2001 - 23:50: |
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a)
Da g(x) nur 2 Unbekannte a und b hat, reichen schon 2 Punkte, z.B. P und Q, aus. Man kann dann erstmal nur hoffen, dass auch R in der Nähe des Graphen liegt:
g(x)=a*e^(bx) ("^" bedeutet "hoch")
Punktprobe mit P: 0,15=a*e^(-b) (1)
Punktprobe mit Q: 1,2=a*e^(2b) (2)
(2) : (1) liefert
8=e^(2b)/e^(-b)
8=e^(3b)
ln(8)=3b ; mit 8=2^3 gilt
ln(2^3)=3b
3*ln(2)=3b
b=ln(2)
b in z.B. (2) einsetzen:
a=1,2/e^(2*ln(2))=1,2/e^(ln(2^2))=1,2/4=0,3
g(x)=0,3*e^(ln(2)*x))=0,3*[e^(ln2)]^x=0,3*2^x
Wir setzen x=5 (den x-Wert von R) ein:
0,3*2^5=0,3*32=9,6 : stimmt sogar exakt
b)
Mit der geschickten Darstellung von g(x)=0,3*2^x
geht das einfach:
g(x+k)=2*g(x)
0,3*2^(x+k)=2*0,3*2^x | :0,3
(2^x)*(2^k)=2*2^x | :2^x ¹0
2^k=2 | ln(...)
k*ln2=ln2 | :ln2
k=1
k entspricht der "Verdoppelungszeit" |
lnexp
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. Mai, 2001 - 00:50: |
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c)
h_a(x)=(f(x)-a)^2 mit a>0 und f(x)=2*e^(-1,2x):
h_a(x)=(2*e^(-1,2x) - a)^2 multipliziere ich zum Ableiten besser aus (Binom):
h_a(x)= 4*e^(-2,4x) - 4a*e^(-1,2x) + a^2
h_a'(x)=-9,6*e^(-2,4x) + 4,8a*e^(-1,2x) = 4,8*e^(-2,4x) * (-2+a*e^(1,2x))
h_a''(x)=23,04*e^(-2,4x) - 5,76a*e^(-1,2x)=5,76*e^(-2,4x) * (4-a*e^(1,2x))
Symmetrie: keine erkennbar, da weder h_a(-x)=h_a(x) noch h_a(-x)=-h_a(x) (man kann auch abwarten, bis unsymmetrische Nullstellen oder Extrema oder Wendestellen oder Asymptoten auftauchen)
Nullstellen:
h_a(x)=0 Þ f(x)=a
2*e^(-1,2x)=a | :2
e^(-1,2x)= a/2 | ln(...) möglich, da a>0
-1,2x=ln(a/2) | *(-5/6)
x=-5/6*ln(a/2)
N(-5/6*ln(a/2) | 0)
Extrema:
h_a'(x)=0
-2+a*e^(1,2x)=0
a*e^(1,2x)=2 | :a
e^(1,2x)=2/a |ln(...); möglich, da a>0
1,2x=ln(2/a)=-ln(a/2) |*5/6 (hier wurde ln(1/x)=-ln(x) benutzt)
x=-5/6*ln(a/2) : das fällt mit der Nullstelle zusammen (war aber eh klar, oder ?)
Da f(x)=a nur an einer Stelle erfüllt ist, gilt h_a(x)>0 bis auf die Nullstelle N von oben, daher ist hier ein Tiefpunkt !
T(-5/6*ln(a/2)=N
Wendepunkt(e):
h_a''(x)=0
5,76*e^(-2,4x) * (4-a*e^(1,2x))=0
4-a*e^(1,2x)=0
e^(1,2x)=4/a | ln(...); wieder a>0
1,2x=-ln(a/4) (wieder wegen ln(1/x)=-ln(x))
x=-5/6*ln(a/4)=5/6*ln(4/a)=ln((4/a)^(5/6))
Wegen h_a''(x)=5,76*e^(-2,4x) * (4-a*e^(1,2x))
und da 5,76*e^(-2,4x)>0, ist nur ein Vorzeichenwechsel von 4-a*e^(1,2x) nachzuweisen:
a*e^(1,2x) ist wegen a>o streng wachsend, deswegen ist
-a*e^(1,2x) und auch 4-a*e^(1,2x) streng fallend,
also wechselt h_a''(x) das Vorzeichen von + nach -, das ergibt einen Wendepunkt, und zwar "Links- in Rechts-Kurve"
h_a(-5/6*ln(a/4))=(2*e^(ln(a/4))-a)^2=(2*a/4-a)^2=(-a/2)^2=(a^2)/4
W( -5/6*ln(a/4) | a^2 / 4 )
d)
Asymptoten:
x---> -¥ : h_a(x)---> ¥ , da f(x)---> ¥
x---> ¥ : h_a(x)---> y=a^2 , da f(x)---> 0
Also schmiegt sich h_a der Geraden y=a^2 an (waagrechte Asymptote)
e)
f)
f(x)=g(x)
2*e^(-1,2x)=0,3*2^x
e^(-1,2x)=0,15*2^x |ln (...)
-1,2x=ln(0,15) + x*ln(2)
x*(1,2+ln2)=-ln(0,15)
x=-ln(0,15)/(1,2+ln2) =ca. 1,002098518...
g(-ln(0,15)/(1,2+ln2))=ca. 0,600873384...
S(1,0021 | 0,60087)
g)
F(x)=2/(-1,2)*e^(-1,2x)=-5/3*e^(-1,2x)
G(x)=(0,3/ln2)*2^x
h) selber machen |
rico
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. Mai, 2001 - 20:49: |
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RESPEKT!
schade, dass h) nicht geklappt hat. aber trotzdem: Vielen dank!!
(stimmt das auch wirklich alles?) |
lnexp
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. Mai, 2001 - 06:54: |
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2*nachgerechnet von a) bis g)
h) ist mir und Dir wohl auch zu blöd, da man "Kommazahlen" einsetzen muss.
Die Stammfunktionen sind aber bekannt:
Es geht nur darum, dass man bei der Berechnung zwei Integrale benutzen soll:
Das erste Integral von 0 bis 1,0021 (also bis zum x-Wert des Schnittpunkts) von f(x) dx
und dann vom Schnittpunkt 1,0021 bis a (a>1,0021) von g(x).
Schliesslich a--->oo gehen lassen .
Die Stammfunktionen sind ja bekannt. |
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