| Autor |
Beitrag |
    
Gloria
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 01. Mai, 2001 - 15:38: | 
|
Damit eine Menge U einen Vektorraum bildet, muss sie in allen Vektorraumaxiomen übereinstimmen. Für was muss ich dann noch auf abgeschlossenheit überprüfen, bzw. wann muss ich auf abgeschlossenheit überprüfen und wann muss ich die vektorraumaxiome beweisen???
Kann mir da mal jemand helfen?
Gruß Gloria |
Leo (Leo)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. Mai, 2001 - 21:35: |
|
Abgeschlossenheit gegenüber was? |
lnexp
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Mai, 2001 - 02:32: |
|
Damit irgendeine Menge G einen Vektorraum bildet, muss (G;+) eine kommutative Gruppe sein (innere Verknüpfung "+", bezüglich der G natürlich abfeschlossen ist) und ausserdem die Vektorraumaxiome bezüglich der (äusseren) Verknüpfung "*" erfüllen (Skalare Multiplikation ist abgeschlossen, Distributivität, Assoziativität, Eins-Element).
Man muss also schon überprüfen, ob die Skalare Multiplikation "immer in G landet".
Ist U aber Teilmenge eines gegebenen Vektorraums, dann braucht man nicht alle Vektorraumaxiome nachzuweisen, da die meisten "vererbt" werden (d.h. auch in der Teilmenge automatisch erfüllt sind).
Daher gibt es das Unterraum-Kriterium:
Eine nichtleere Teilmenge U eines (reellen) Vektorraums V ist genau dann Unterraum von V, wenn gilt
(1) für alle u,w aus U gilt: u+w in U
(2)für alle x aus R und alle u aus U gilt: x*u in U
(1) und (2) könnte man als Abgeschlossenheit bezüglich der inneren und äusseren Verknüpfung bezeichnen, die aber nachzuweisen ist; alle anderen Vektorraumaxiome werden von V übernommen (vererbt) und müssen nicht mehr nachgewiesen werden.
Beispiel:
[1]
Die Gruppe G=(R^n,+) aller n-Tupel reeller Zahlen [ also (a1,a2,...,an) mit a1,a2,...,an in R mit elementweiser Addition, also (a1,a2,...,an) + (b1,b2,...,bn)=(a1+b1,a2+b2,...,an+bn) : ist kommutative Gruppe ... ] mit der Skalaren Multiplikation x*(a1,a2,...,an)=(x*a1,x*a2,...,x*an) mit beliebigem x in R ist ein Vektorraum über R (reeller Vektorraum) : Du musst alles nachweisen (komm. Gruppe, Skalare Multiplikation bleibt in G und Vektorraumaxiome)
[2]
Die Menge M={(2;3) + x*(4;5) | x in R} als Teilmenge des R^2 von Beispiel [1] mit n=2 bildet keinen Unterraum: zwar wären die Vektorraumaxiome Distributivität, Assoziativität und 1*z=z erfüllt, aber es gilt sogar für beliebige a,b aus M, dass a+b nicht in M liegt; es gilt auch für z ungleich 1, dass z*a nicht in M liegt. Es kommt also bei der Teilmenge eines Vektorraums gerade auf die Abgeschlossenheit an.
Hoffe das hilft weiter
ciao |
lnexp
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Mai, 2001 - 02:44: |
|
[3]
Die Menge U={r*(1;1) | r in R} als Teilmenge des R^2 von Beispiel [1], n=2 bildet einen Unterraum:
zu (1):
es gilt r*(1;1)+s*(1;1)=(r+s)*(1;1)=t*(1;1) in U, da ja t=r+s in R liegt und t*(1;1) per Def. in U liegen soll
zu (2):
es gilt x*(r*(1;1))=(x*r)*(1;1)=z*(1;1) in U, da z=(x*r) in R liegt und damit z*(1;1) in U per Def.
Die restlichen Vektorraumaxiome sind automatisch erfüllt (beim Nachweis merkst Du, wie sie übernommen werden, da Du dann das gleiche zeigen musst, wie für den R^2 schon gezeigt wurde).
Bemerkung:
Dass [2] kein (Unter-)Vektorraum sein kann, sieht man ganz schnell daran, dass (0;0) nicht in U liegt (müsste aber wegen der Forderung 0*a=(0;0) in U !) |
|
