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Beitrag |
    
Geri
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 01. Mai, 2001 - 12:24: | 
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Hallo Leute ,hab ein Problem mit einer Diff. Aufgabe
Die laut so:
Lösen sie die Diff. y'=(x+2y+3)/(2x-y-4)
indem Sie zunächst X=x-1 und Y=y+2
substituieren. ((1,-2) ist der Schnittpunkt der Geraden x+2y=-3 und 2x-y=4)
Danke!
Geri |
H.R.Noser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. Mai, 2001 - 09:17: |
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Hi Geri,
Die Hauptarbeit besteht darin, die transformierte Dgl.
mit Grossbuchstaben X und Y für die neuen Variablen
zu lösen
Diese DGL. lautet :
Y ' = ( X +2Y) / (2 X - Y ) = [1 + 2 Y/X)] / [2 - Y/X ]
Sie ist homogen und legt daher die Substitution
Y / X = U nahe.
Aus Y = X * U folgt durch Ableiten nach x:
Y ' = U + X U ' ; setzen wir diese Dinge in die DGL. ein,
so kommt:
U + X U ' = (1 + 2 U) / (2 - U ), also :
X * U ' = (1+2U) / (2-U) - U = (1+U^2) / (2-U),somit
U ' = 1 / X * [( 1+U^2 ) / ( 2 - U )]
Die Variablen X und U können getrennt werden
(2 - U) / (1+U^2) * dU = 1 / X * dX oder:
2 * 1 / (1+U^2) * dU - ½ * 2 * U / (1+U^2) *dU = 1/X * dX
Integriert:
2*arc tan U - ½ *ln (1+U^2) = ln ( c * X),
mit c als Integrationskonstante
Umformung:
2*arc tan U = ln [c *X * wurzel(1+U^2)] oder:
c*X*wurzel(1+U^2) = e ^ [2* arc tan U], also mit 1/c = C::
X= C / wurzel(1+U^2) * e ^[ 2* arc tan U]
Nun setzen wir U = Y/X und erhalten:
X = C * X / wurzel (X^2+Y^2) * e ^ [2* arc tan (Y/X) ]
In dieser Gleichung ist X durch x-1 und Y durch y+2 zu
ersetzen, um eine Lösung der ursprünglichen DGL. zu erhalten.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. Mai, 2001 - 09:43: |
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Hi Geri,
Zusätzliche Bemerkungen.
1.) Im Schlussresultat kann X auf beiden Seiten
weggehoben werden.
2.) Es ist erfreulich und auch beruhigend,dass das
Computeralgebra-System Maple das gleicheResultat
ausgibt.
Die Eingebe lautet:
G:=diff(Y(X),X)=(X+2*Y)/(2*X-Y);
dsolve(G,Y(X));
3) Die Transformation von "Moser" zu "Noser" war ungewollt
und soll jetzt rückgängig gemacht werden.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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