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Beitrag |
    
Carmen
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 29. April, 2001 - 10:31: | 
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Ich habe nur noch mal zwei Fragen an dich!!
1.Könntest du mir vielleicht in rechnerischen Schritten das 2:1 Verhältniss erklären???
2.Es gilt doch der Satz : Die vier Mittellinien eines Tetraeders schneiden sich in seinem Schwerpunkt und werden durch diesen von den Ecken aus im Verhältnis 3:1 geteilt.
Könntest du mir das auch recherisch erklären.
z.B. für dei Punkte A(5/9/3) B (6/4,5/10)
C(3/0/4) D (10/6/5)
Wäre echt nett von dir!!!
Und vielen Dank im voraus. |
lnexp
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 01. Mai, 2001 - 06:35: |
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Lach mich nicht aus, aber gilt das wirklich ?
Das müsstest Du (oder ich) echt mal beweisen; mir war das bisher gar nicht bekannt, ehrlich nicht.
Was sollen die "Mittellinien denn sein ? Vielleicht mach ich mir auch zuwenig Gedanken darum und "fern" oder "megamath" haben da mehr drauf ? Sind das die Geraden von einer Ecke zum Schwerpunkt des gegenüberliegenden Dreiecks ?
... habs gerade ausprobiert; stimmt tatsächlich...
war mir bisher nicht bekannt... beweise es ! |
lnexp
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 01. Mai, 2001 - 06:38: |
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Hab nochmal nachgedacht.
z.B. macht man beides mit dem Teilverhältnis; das hinzutippen macht aber echte Mühe.
Versuchst Dus selber ? Wenn nicht, dann schick ich Dir lieber einen Brief (!)
cu Carmen |
lnexp
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 01. Mai, 2001 - 07:29: |
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Hi carmen; habe verstanden, dass Dus so nicht hinkriegst; dann schreib mir an lnexp@yahoo.de |
Loco-cool
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 01. Mai, 2001 - 16:08: |
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Beweis mit linearer Unabhängigkeit der Vektoren! |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 01. Mai, 2001 - 20:54: |
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Hi Inexp,
Motto: "Wer vieles bringt, wird manchem etwas bringen"
Der folgenden kleine Exkurs enthält Antworten auf die Frage
"was ich schon immer über das allgemeine Tetraeder
wissen wollte".
.
Meine Ausführungen sind grösstenteils einem Leitfaden
zur Stereometrie von W.Benz (Orell Füssli Verlag, Zürich )
aus dem Jahr 1937 entnommen.
In früheren Zeiten wurde dieses Fach an den Schulen,
namentlich an den sogenannten Oberrealschulen,
viel intensiver gepflegt als heute, und auf das räumliche
Anschauungsvermögen wurde besonders Wert gelegt
Nützlich war diese Propädeutik in Stereometrie auch für
die Darstellenden Geometrie, welche damals, auch an
technischen Hochschulen, eine gewichtige Rolle spielte
Nun zum Thema
I.] Der Schwerpunkt
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Die Verbindungsgeraden A S1, B S2, C S3, D S4 der Ecken
A,B,C.D mit den Schwerpunkten Si der gegenüberliegenden
Seitenflächen heissen die vier Mittellinien des Tetraeders.
Die Mittellinien A S1 und D S4 liegen in der Ebene ,welche
die Kante AD und den Mittelpunkt G der Gegenkante BC enthält.;
sie schneiden sich daher in einem Punkt S.
Aus G S4 : GA = GS1 : GD = 1 : 3 folgt S4 S1 ist parallel zu AD
und
S4 S1 : AD = 1 :3
Und daraus weiter
S4 S : DS = = S1 S : AS = 1: 3
Die beiden Mittellinien teilen also einander gegenseitig
Im Verhältnis 1 : 3.
Dies gilt auch für irgend zwei andere Mittellinien.
Wegen S1 S : AS = S2 S : BS = S3 S: CS = S4 S : DS = 1 : 3
gehen alle vier Mittellinien durch denselben Punkt S.
Alle Parallelschnitte des Tetraeders zur Fläche ABC sind
perspektiv ähnlich bezüglich des Aehnlichkeitspunktes D,
mithin liegen ihre Schwerpunkte auf D S4;
daher heisst D S4 auch eine Schwerlinie des Tetraeders,
auf welcher der Schwerpunkt des Körpers liegt.
Aus dem gleichen Grund sind auch die übrigen Mittellinien
Schwerlinien des Tetraeders.
Daher gelten die Sätze
L1)
Die vier Mittellinien eines Tetraeders schneiden sich in seinem
Schwerpunkt und werden durch diesen von den Ecken aus
im Verhältnis 3 : 1 geteilt.
L2)
Die sechs Verbindungsebenen der Kanten eines Tetraeders
mit den Mittelpunkten der Gegenkanten gehen durch den
Schwerpunkt des Tetraeders.
Die in 2) genannten Ebenen werden als Schwerebenen des
Tetraeders bezeichnet.
Verbindet man die Mittelpunkte zweier Gegenkantenpaare
AB,CD und BC,AD , so entsteht ein Parallelogramm EGFH;
seine Seiten sind paarweise zu den übrigen Kanten AC und BD
parallel und halb so lang wie diese.
Im ganzen gibt es drei solche Parallelogramme
EGFH, EJFK, GJHK , die sich paarweise in einer der drei
Verbindungsstrecken EF,GH und JK der Gegenkantenmitten
Schneiden und deren gemeinsamer Mittelpunkt die gemeinsame
Mitte dieser drei Strecken ist.
Man kann zeigen ( wie könnte es anders sein ? ) ,
dass dieser Punkt S mit dem Schwerpunkt des Tetraeders
zusammenfällt.
Im Schnittdreieck CDE, wo F Mittelpunkt von CD und
S Mittelpunkt von EF ist, wird CF durch M halbiert.
Da MS parallel zu CE und gleich lang wie ½ CE ist, folgt:
CM :DM = 1 :3 = NS : DS, wo N den Schnittpunkt
von CE und DS bedeutet.
Weiter: MS : CN = MD : CD = 3 : 4 , also
CE : CN = 3 : 2 ,
d.h. N ist der Schwerpunkt S4 von ABC und S der Schwerpunkt
des Tetraeders
Wir haben den Satz gewonnen:
L3)
Die drei Verbindungsstrecken der Gegenkantenmitten eines
Tetraeders gehen durch seinen Schwerpunkt und werden
durch diesen halbiert.
II] Die Umkugel
°°°°°°°°°°°°°°°°°
Die mittelnormalen Ebenen auf die Seiten des Dreiecks ABC
schneiden sich in einer Geraden, dem Ort des Punktes mit
gleichen Abständen von den Ecken A,B,C.
Diese Gerade ist die Normale im Umkreismittelpunkt M4
des Dreiecks ABC auf dessen Ebene.
Sie schneidet die mittelnormale Ebene zur Kante AD
in einem Punkt M, dem einzigen Punkt mit gleichen Abständen
von den Tetraederecken ABCD.
Dieser Punkt ist also das Zentrum der einzigen Kugel, welche die
Ecken des Tetraeders enthält (Umkugel des Tetraeders)
Durch M gehen auch die mittelnormalen Ebenen zu BD und CD
und die Normalen in den Umkreismittelpunkten M1,M2 und M3
auf die Seitenflächen BCD,ACD und ABD, d.h.
L4)
Die vier Normalen auf die Seitenflächen eines Tetraeders in den
Mittelpunkten der Umkreise schneiden sich im Mittelpunkt
der dem Tetraeder umgeschriebenen Kugel.
L5)
Die sechs mittelnormalen Ebenen zu den Kanten eines Tetraeders
gehen durch den Mittelpunkt der umgeschriebenen Kugel und
schneiden sich viermal zu dreien in einer Geraden, der Normale
von diesem Punkt auf eine Seitenfläche.
N.B. Der Mittelpunkt der Umkugel kann inner- oder ausserhalb
des Tetraeders liegen.
III] Die Inkugel
°°°°°°°°°°°°°°°°
Man kann jetzt auch nach den Punkten fragen, die von den
vier Seitenflächen die gleichen Abstände haben;
diese Punkte gehören notwendig den innern oder äussern
Halbierungsebenen der Flächenwinkel des Tetraeders
an den Kanten an.
Jeder solche Punkt ist dann der Mittelpunkt einer Kugel,
welche die Seitenflächen in den Fusspunkten der Normalen
vom Punkt aus berührt.
Soll der Punkt im Innern des Tetraeders liegen, so muss er
ein Punkt der Schnittgeraden der beiden Ebenen sein,
welche die Flächenwinkel an den Kanten AB und AC
halbieren.
Durch diese Gerade im Inneren des Dreikantes bei A
geht auch die Halbierungsebene des Flächenwinkels
an der Kante AD, da die Punkte dieser Geraden die
gleichen Abstände von den Seitenflächen ABD und ACD
haben.
Zugleich gehört der gesuchte Punkt der Halbierungsebene des
Flächenwinkels an der Kante BC an und ist daher
der Schnittpunkt O dieser Ebene mit der vorigen durch A
gehenden Geraden Daher
L6)
Die sechs Halbierungsebenen der Flächenwinkel eines Tetraeders
schneiden sich viermal zu dreien in einer Geraden durch eine Ecke
und gehen durch einen Punkt im Innern des Tetraeders mit gleichen
Abständen von den Seitenflächen; dieser Punkt ist der Mittelpunkt
der dem Tetraeder eingeschriebenen Kugel.
Die Berührungspunkte der Seitenflächen mit der Inkugel liegen
im Innern dieser Flächen.
Die vier durch O gehenden Geraden sind die Achsen der Inkegel
der Dreikante an den Ecken.
Die Halbierungsebenen zerlegen das Tetraeder in vier Teiltetraeder
mit der gemeinsamen Spitze O.
Bezeichnen daher F1,F2,F3,F4 die Inhalte der Seitenflächen,
V das Volumen des Tetraeders und r den Radius der Inkugel,
so ist
3 * V = r * ( F1 + F2 + F3 +F4 ) ;d.h.:
L7)
Zwischen dem Volumen V, der Oberfläche F und dem
Inkugelradius r eines Tetraeders besteht die Beziehung
3 V = r * F .
IV ] Die Höhen
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Die vier Höhen eines Tetraeders schneiden einander
im allgemeinen nicht.
Würden sich etwa die Höhen A F1 = h1 und D F4 = h4
schneiden,
so wäre die durch beide Höhen bestimmte Ebene
und damit auch die Kante AD zu BC senkrecht, was
gewöhnlich nicht zutrifft.
Zu den Tetraedern, bei denen die vier Höhen durch
einen Punkt gehen, gehören das reguläre Tetraeder
und das Tetraeder, das durch den Schnitt einer Würfelecke
mit einer Ebene entsteht.
Das allgemeinste Tetraeder dieser Art ist das sogenannte
orthogonale Tetraeder mit drei Paaren senkrechter Gegenkanten.
Im regulären Tetraeder fallen der Höhenschnittpunkt,
der Mittelpunkt der Umkugel und der Mittelpunkt der Inkugel
mit dem Schwerpunkt zusammen.
V] Die Bestimmung eines Tetraeders.
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Ein Tetraeder ist im allgemeinen durch sechs unabhängige Stücke,
z.B. die drei von einer Ecke ausgehenden Kanten und die drei von
diesen eingeschlossenen Winkel , bestimmt.
Zur Konstruktion des Tetraeders benützt man oft
geometrische Oerter.
Sind z.B. die Seitenfläche ABC, das Dreikant bei A
und die Höhe auf ABC gegeben., so findet man die vierte Ecke D
als den Schnittpunkt der Kante AD des Dreikantes mit einer zu ABC
parallelen Ebene.
Zur Berechnung der fehlenden Stücke benötigt man oft Kenntnisse der
sphärischen Trigonometrie
VI] Schlussaufgaben.
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
1.
Zeige: Ein Tetraeder ABCD wird von jeder zwischen den Gegenkanten
AD und BC liegenden und zu ihnen parallelen Ebene in einem
Parallelogramm EFGH geschnitten.
Der Ort der Diagonalen EF ist eine Fläche, die das Tetraeder halbiert
( Thema: hyperbolisches Paraboloid )
2.
Zeige:
Die innern und äussern Halbierungsebenen der sechs Flächenwinkel
eines Tetraeders gehen acht mal zu sechsen durch einen Punkt.
Jeder dieser Punkte ist der Mittelpunkt einer Kugel, welche die vier Seitenflächen berührt : eine Inkugel, vier Ankugeln und
drei Ueberkugeln.
Sind r, r1, r2, r3, r4, r5, r6, r7, r8 der Reihe nach ihre Radien , so gilt
für das Volumen V des Tetraeders:
3 * V = ( F1 +F2 + F3 + F4 ) * r =
(- F1 + F2 +F3 +F4 ) * r1 =..... = ( F1+F2 - F3 - F4 ) * r5 =...
Das sollte genug sein !
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
Xell
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 01. Mai, 2001 - 22:47: |
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Hallo H.R.Moser,megamath.!
Eine Frage, wenn sie denn gestattet sei: Inwiefern hast du mit Mathe zu tun und wie alt bist du?
mfG, Xell :-) |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. Mai, 2001 - 14:12: |
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Hi Xell ,
In Beantwortung Diener netten Fragen folgendes
a) was die Mathematik anbelangt, zähle ich mich zu den Profis,
allerdings mit einer wesentlichen Einschränkung:
Meine Arbeiten tragen alle die Bezeichnung:
" ferner liefen " !
b) was das Alter anbelangt, möchte ich mich dazu nicht
explizit äussern.
Erwähnen möchte ich aber, dass ich in den späten
Vierziger-Jahren ( 48 nicht 68 !) des letzten
Jahrhunderts an der ETH in Zürich Mathematik studierte
.
Jetzt heisst es - wie üblich- rechne !
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
Xell
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Mai, 2001 - 13:15: |
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Hallo H.R.Moser,megamath!
a) Du meinst, der richtig "große Wurf" ist dir nie gelungen? Erzähl doch mal ein bisschen von deiner Laufbahn, wenn du willst. Würde mich wirklich interessieren, da ich (in Kürze Klasse 12, Mathe LK) auch vorhabe, Mathematik zu studieren und mich daher Meinungen zu dem Thema, auch nicht mehr so ganz aktuelle, interessieren.
Du hast doch sicherlich gelehrt, oder? Auch an der ETH?
b) Wow, das beantwortet dann immerhin meine nächste Frage zum Teil:
Woher nimmst du die viele Zeit, hier sehr ausführlich und gut zu erklären und bist du eine Art "Oberboss" hier bei zahlreich.de oder hast du die Page auch "nur so" gefunden?...
Wenn du was dazu sagen möchtest, so melde dich bitte...
mfG, Xell :-)
P.S.: Ich hoffe, Sie nehmen mir das Duzen nicht übel... |
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