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Karolin
| Veröffentlicht am Samstag, den 28. April, 2001 - 22:04: |
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Hi, wer kann mir bei folgender Aufgabe helfen? In einem cartesischen Koordinatensystem sei der Würfel W mit den Eckpunkten (0,0,0), (1,0,0), (1,0,1), (0,0,1), (0,1,0), (1,1,0), (1,1,1), (0,1,1) gegeben. Sei d die Raumdiagonale von W, die (0,0,0) und (1,1,1) verbindet, und sei E die Ebene durch (1/2,1/2,1/2), die Mittelsenkrechte von d ist. Geben Sie die Eckpunkte des Sechsecks an, das beim Schnitt von E und W entsteht. Gehe ich recht in der Annahme, dass es mehrere Lösungen gibt? |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Sonntag, den 29. April, 2001 - 09:48: |
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Hi Karolin , Bezeichnungen Ecken des Würfels: A(0/0/0),B(1/0/0),C(1/1/0),D(0/1/0) E(0/0/1),F(1/0/1),G(1/1/1),H(0/1/1) Mit Phi sei die Mittelnormalebene der Körperdiagonalen AG bezeichnet Phi geht durch den Mittelpunkt M( ½ / ½ / ½ ) des Würfels und steht auf AG senkrecht Der Vektor AG = {1;1;1} ist ein Normalenvektor von Phi Daher lautet eine Koordinatengleichung von Phi: x + y + z = 3/2 oder: 2 x + 2 y + 2 z = 3. Die Ecken P,Q,R,S,T,U des gesuchten Sechsecks liegen der Reihe nach auf den Würfelkanten BC,CD,DH,HE,EF,FB. Die sechs übrigen Würfelkanten AB,AD AE und GC , GF ,GH enthalten keine Ecken des Schnittpolygons. Dies kann anschaulich mittels einer Skizze z.B. in schiefer Parallelprojektion festgestellt werden. festgestellt werden. Zur Ermittlung der Koordinaten der sechs Ecken P,Q;R;S:T,U bestimmen wir die drei Schnittgeraden e1,e2,e3 der Ebene Phi mit den Koordinatenebenen. Schnittgerade e1 von Phi mit der (x,y)-Ebene (erste Spur von Phi); Setze z = 0; wir erhalten: 2x + 2y = 3 , z = 0.......................................................................(1) Schnitt von e1 mit den Kanten BC und CD: Mit BC :setze in (1) x = 1 ; es kommt y = ½, somit: P( 1 / ½ / 0) Mit CD :setze in (1) y = 1 , es kommt:x = ½, somit Q( ½ / 1 / 0) Schnittgerade e2 von Phi mit der (y,z)-Ebene (zweite Spur von Phi); Setze x = 0; wir erhalten: 2y + 2z = 3 , x = 0.......................................................................(2) Schnitt von e2 mit den Kanten DH und HE: Mit DH :setze in (2) y = 1 ; es kommt z = ½, somit: R( 0 / 1 / ½ ) Mit HE :setze in (2) z = 1 , es kommt: y = ½, somit S( 0 / ½ / 1 ) Schnittgerade e3 von Phi mit der (z,x)-Ebene (dritte Spur von Phi); Setze y = 0; wir erhalten: 2x + 2z = 3 , y = 0.......................................................................(3) Schnitt von e3 mit den Kanten EF und FB: Mit EF :setze in (3) z = 1 ; es kommt x = ½, somit: T ( ½ / 0 / 1 ) Mit FB :setze in (3) x = 1 , es kommt :z = ½, somit U( 1 / 0 / ½ ). Damit sind alle Ecken des Sechsecks bekannt, Mit freundlichen Grüssen H.R.Moser,megamath. |
Karolin
| Veröffentlicht am Sonntag, den 29. April, 2001 - 14:58: |
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Danke! |
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