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Schnitt Würfel/Ebene

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Klassen 12/13 » Analytische Geometrie » Ebenen » Schnitt Würfel/Ebene « Zurück Vor »

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Karolin
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Veröffentlicht am Samstag, den 28. April, 2001 - 22:04:   Beitrag drucken

Hi, wer kann mir bei folgender Aufgabe helfen?

In einem cartesischen Koordinatensystem sei der Würfel W mit den Eckpunkten (0,0,0), (1,0,0), (1,0,1), (0,0,1), (0,1,0), (1,1,0), (1,1,1), (0,1,1) gegeben. Sei d die Raumdiagonale von W, die (0,0,0) und (1,1,1) verbindet, und sei E die Ebene durch (1/2,1/2,1/2), die Mittelsenkrechte von d ist. Geben Sie die Eckpunkte des Sechsecks an, das beim Schnitt von E und W entsteht.


Gehe ich recht in der Annahme, dass es mehrere Lösungen gibt?
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H.R.Moser,megamath.
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Veröffentlicht am Sonntag, den 29. April, 2001 - 09:48:   Beitrag drucken

Hi Karolin ,

Bezeichnungen

Ecken des Würfels:
A(0/0/0),B(1/0/0),C(1/1/0),D(0/1/0)
E(0/0/1),F(1/0/1),G(1/1/1),H(0/1/1)

Mit Phi sei die Mittelnormalebene der Körperdiagonalen
AG bezeichnet
Phi geht durch den Mittelpunkt M( ½ / ½ / ½ ) des Würfels
und steht auf AG senkrecht
Der Vektor AG = {1;1;1} ist ein Normalenvektor von Phi
Daher lautet eine Koordinatengleichung von Phi:
x + y + z = 3/2 oder:
2 x + 2 y + 2 z = 3.

Die Ecken P,Q,R,S,T,U des gesuchten Sechsecks liegen der Reihe
nach auf den Würfelkanten
BC,CD,DH,HE,EF,FB.
Die sechs übrigen Würfelkanten AB,AD AE und GC , GF ,GH
enthalten keine Ecken des Schnittpolygons.
Dies kann anschaulich mittels einer Skizze z.B. in schiefer
Parallelprojektion festgestellt werden.
festgestellt werden.

Zur Ermittlung der Koordinaten der sechs Ecken P,Q;R;S:T,U
bestimmen wir die drei Schnittgeraden e1,e2,e3 der Ebene
Phi mit den Koordinatenebenen.

Schnittgerade e1 von Phi mit der (x,y)-Ebene (erste Spur von Phi);
Setze z = 0; wir erhalten:
2x + 2y = 3 , z = 0.......................................................................(1)
Schnitt von e1 mit den Kanten BC und CD:
Mit BC :setze in (1) x = 1 ; es kommt y = ½, somit: P( 1 / ½ / 0)
Mit CD :setze in (1) y = 1 , es kommt:x = ½, somit Q( ½ / 1 / 0)

Schnittgerade e2 von Phi mit der (y,z)-Ebene (zweite Spur von Phi);
Setze x = 0; wir erhalten:
2y + 2z = 3 , x = 0.......................................................................(2)
Schnitt von e2 mit den Kanten DH und HE:
Mit DH :setze in (2) y = 1 ; es kommt z = ½, somit: R( 0 / 1 / ½ )
Mit HE :setze in (2) z = 1 , es kommt: y = ½, somit S( 0 / ½ / 1 )

Schnittgerade e3 von Phi mit der (z,x)-Ebene (dritte Spur von Phi);
Setze y = 0; wir erhalten:
2x + 2z = 3 , y = 0.......................................................................(3)
Schnitt von e3 mit den Kanten EF und FB:
Mit EF :setze in (3) z = 1 ; es kommt x = ½, somit: T ( ½ / 0 / 1 )
Mit FB :setze in (3) x = 1 , es kommt :z = ½, somit U( 1 / 0 / ½ ).

Damit sind alle Ecken des Sechsecks bekannt,

Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath.
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Karolin
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Veröffentlicht am Sonntag, den 29. April, 2001 - 14:58:   Beitrag drucken

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