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Beitrag |
    
anlyn (Daydream)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 27. April, 2001 - 18:44: | 
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Könnt ihr mir vielleicht helfen?
Die Aufgabe lautet:
Bestimme einen Punkt, der von den Ebenen
E1 : 2x + 2y - z = 6
E2 : 6x + 9y + 2z= -22 den gleichen Abstand hat |
anlyn (Daydream)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 27. April, 2001 - 18:48: |
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Wie geht diese Aufgabe?
Bestimme die Winkel unter denen E1 die drei Koordinatenebenen schneidet
E1:x= (0/2/5) + r(1/-1/-1) + s(3/1/-5) |
lnexp
| | Veröffentlicht am Freitag, den 27. April, 2001 - 22:09: |
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Deine erste Frage ist schwieriger:
Wenn man (um es nicht zu einfach zu machen) solch einen Punkt angeben möchte, der nicht auf der Schnittgeraden der beiden Ebenen liegt (denn da ist der Abstand trivialerweise jeweils Null), dann musst Du einen Punkt der Symmetrieebene (oder "Winkelhalbierenden-Ebene") finden.
Deswegen stellen wir die Symmetrieebene einmal auf (was nicht einfach ist):
Die Symmetrieebene enthält die Schnittgerade:
Dazu eliminierst Du durch Additionsverfahren eine Koordinate, z.B. z:
2*E1 + E2:
10x + 13y = -10
Das löst Du z.B. nach x auf :
x= -1 -(13/10)*y
Wähle y=10*s
dann erhältst Du x=-1-13*s
Beides in E1 (oder E2) einsetzen:
2*(-1-13*s)+2*10*s -z=6
-2-26*s+20*s-z=6
nach z auflösen:
z=-8-6*s
Also
x=-1 - 13*s
y= 0 + 10*s
z=-8 -6*s
Schnittgerade g ist also
g:x=(-1;0;-8) + s*(-13;10;-6)
( Q(-1|0|-8) ist also ein Punkt, der Abstand 0 zu beiden Ebenen hat, der ist aber "langweilig" ).
Um die Symmetrieebene zu bestimmen, die ja diese Gerade g enthalten muss, brauchen wir noch einen zweiten Richtungsvektor: dieser ist z.B. einer der "Winkelhalbierenden-Vektoren" der beiden Normalenvektoren.
Um einen dieser zu kriegen, müssen beide Normalenvektoren (2;2;-1) und (6;9;2) normiert werden. Der Aufgabensteller hat uns das Leben wenigstens einfach gemacht, denn diese Vektoren haben die Längen wurzel(4+4+1)=3 bzw. wurzel(36+81+4)=11, sind also ganzzahlig.
Ein möglicher Richtungsvektor der Symmetrieebene(n) ist die Addition der beiden normierten Normalenvektoren (ein anderer die Subtraktion der normierten Normalenvektoren).
Addition:
v=1/3*(2;2;-1) + 1/11*(6;9;2)=(40/33;49/33;-5/33)
oder ein Vielfaches davon, nämlich v'=(40;49;-5)
Eine Symmetrieebene lautet damit z.B.
ES: x=(-1;0;-8) + s*(-13;10;-6) + t*(40;49;-5)
Diese hat die Koordinatengleichung
ES: -4*x +5*y +17*z = -132
Jeder Punkt dieser Ebene hat zu den beiden gegebenen Ebenen E1 und E2 denselben Abstand,
z.B. der Punkt P mit y=z=0, also x=33:
P(33|0|0) ist ein solcher Punkt und liegt auf keiner der beiden Ebenen E1 und E2 (der Abstand ist jeweils 20)
Man kann auch in der Paramezerform z.B. s=0 und t=1 wählen:
Q(39;49;-13) : hat jeweils Abstand 61
ciao |
lnexp
| | Veröffentlicht am Freitag, den 27. April, 2001 - 22:24: |
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Die andere Symmetrieebene lautet ausserdem
ES2: 40*x + 49*y -5*z = 0
Der Urspring O(0|0|0) hat also von beiden Ebenen auch denselben Abstand, nämlich 2.
Für die andere Frage formst Du die Ebene in Koordinatenform um :
E: 3x + y +2*z = 12
Ein Normalenvektor ist also n=(3;1;2)
Die Koordinatenebenen haben die Normalenvektoren
n3=(0;0;1) (x1,x2-Ebene)
n2=(0;1;0) (x1,x3-Ebene)
n1=(1;0;0) (x2,x3-Ebene)
Formel für den Winkel zwischen Ebenen (wenn n und m die Normalenvektoren sind):
cos(alpha)=|n°m|/(|n|*|m|)
|n|=|(3;1;2)|=wurzel(14);
|n1|=|n2|=|n3|=1
cos(alpha3)=2/wurzel(14) Þ alpha3=57,68846676... Grad
cos(alpha2)=1/wurzel(14) Þ alpha2=74,49864043... Grad
cos(alpha1)=3/wurzel(14) Þ alpha1=36,6992252... Grad |
OliverKnieps (Oliverk)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 28. April, 2001 - 21:21: |
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Hallo lnexp,
zur Beantwortung von anlyn´s erster Frage:
Wow, DAS ist eine echt komplizierte Herleitung, aber natürlich richtig. Einfacher ist aber die folgende Idee:
d bezeichne den Abstand des Punktes P(u/v/w) von der Ebene E1. Außerdem sei d auch der Abstand von P zur Ebene E2. Mithilfe der Hesseschen-Normalenform finden wir schnell:
d = ( 2u + 2v - w - 6)/3 (für E1) und
d = ( 6u + 9v + 2w + 22)/11 (für E2)
Da der Abstand gleich seien soll, können wir die Hesseschen Normalenformen auch gleichsetzen, wir erhalten dann schnell die Symmetrieebene:
ESy: 4x - 5y - 17z - 132 = 0
Wählen wir einen Punkt P auf ESy beliebig, so erhalten wir stets einen Punkt, der zu E1 und E2 denselben Abstand hat. Voilá!
Beste Grüße
 Oliver |
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