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Georg
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 26. April, 2001 - 21:42: | 
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Folgendes: Unser Lehrer hat uns gesagt das im Abitur möglicherweise eine Aufgabe dran kommen könnte in der wir einen Punkt P so bestimmen sollen das ein Tetraeder regelmäßig wird.
Also man hat zb. drei Punkte gegeben und den letzten sollen wir eben bestimmen.
Nun würde ich gerne wissen wie ein Lösungsweg dazu aussehen würde.
Ich bedanke mich schon mal im voraus!!!
Dankeeeeeee!! |
lnexp
| | Veröffentlicht am Freitag, den 27. April, 2001 - 00:44: |
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Hi Georg
Da ein Tetraeder lauter gleichlange Seiten hat, müssen 3 Punkte, z.B. A,B,C, so vorgegeben sein, dass sie ein gleichseitiges Dreieck bilden. Die 4. Ecke, sagen wir T, des Tetraeders muss dann senkrecht über dem Schwerpunkt S liegen. Der Schwerpunkt S wird einfach berechnet: s=(a+b+c)/3
Du addierst also die ersten Koordinaten der 3 Punkte und teilst das Ergebnis durch 3; das ergibt die erste Koordinate von S; verfahre ebenso mit den anderen Koordinaten.
Jetzt hat man den Schwerpunkt S
Als nächstes bestimmst Du den Normalenvektor der Ebene E=(ABC) (z.B. indem Du die Koordinatengleichung bestimmst und den Normalenvektor vor den x'en abliest)
Jetzt stellst Du die Gerade
l: x = s + t*n
auf (mit s: Ortsvektor des Schwerpunkts; n: Normalenvektor von E; t ist der Parameter der Gerade)
Die Seitenlänge des gleichseitigen Dreiecks sei a=AB=AC=BC;
Da der vierte Punkt T des Tetraeders auch die Entfernung a von A, B und C haben muss, die (Lot-)Gerade l, auf der T liegen muss aber schön symmetrisch zu A, B und C liegt, reicht es zu fordern, das AT=a gelten muss.Quadrieren ergibt (AT)^2=a^2 (das ist einfacher, da dann keine Wurzel mehr drin ist).
T hängt von t ab, da T auf l liegt.
Der Vektor AT und damit auch (AT)^2 hängt also auch von t ab.
Das ergibt eine quadratische Gleichung für t (a bzw. a^2 ist ja bekannt) und Du erhälst 2 Lösungen für t (nämlich ± eine Zahl).
Wenn Du die wieder in l einsetzt, dann erhältst Du die möglichen 2 Ecken für den Tetraeder.
Ich hoffe, diese Anleitung ermöglicht es Dir, das ganze auch mit Zahlen zu rechnen.
Bem.:
Du kannst danach aber die Probe machen: der vierte Punkt T muss von der Ebene den Abstand d=a*wurzel(2/3) haben. |
Georg
| | Veröffentlicht am Freitag, den 27. April, 2001 - 11:36: |
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Vielen dank für die freundliche Hilfe!!! |
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